תחרות גרוסמן, 2017, צעירים

• שאלה 1 - הגדלת מלבן

  נתון מלבן במישור. האם יכול להיות שאחרי שכל צלע של המלבן הוגדלה ב 1 ס"מ השטח גדל ב 1 מ"ר? הביאו דוגמא או הוכיחו שזה בלתי אפשרי.

  (אם המלבן הוא 1x5 אז הוא הופך ל 2x6 ואף צלע לא יכולה להיות 0)

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  גאומטריה -> חשבון שטחים אלגברה -> משוואות אלגברה -> בעיות מילוליות

• שאלה 2 - מקדמים שלמים?

  נתונים מספרים ממשיים a,b,c כך שעבור כל מספר שלם x המספר `ax^2+bx+c` שלם. האם זה בהכרח אומר ש a,b,c כולם שלמים? הוכיחו שכן או הביאו דוגמא נגדית.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  אלגברה תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה

• שאלה 3 - שיוויון בשלבים

  על הלוח כתובים המספרים 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ודוד אמור לשנות אותם בשלבים. בכל שלב מותר לדוד לבחור שני מספריים ולשנות אותם ב 1, כלומר להוסיף לשניהם 1, להחסיר משניהם 1, או להוסיף לאחד 1 ולהחסיר מהשני 1.

  האם דוד יוכל אחרי מספר שלבים להגיע למצב שבו כל המספרים על הלוח שווים? אם כן תראו דוגמא ואם לא נמקו את תשובתכם בפירוט.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  קומבינטוריקה -> אינווריאנטים לוגיקה -> הגיון תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים

• שאלה 4 - בחירות ממשלתיות

  בבחירות לפרלמנט של מדינה מסוימת השתתפו מספר מפלגות (לא ידוע כמה). כל אזרח שהשתתף בבחירות הצביע למפלגה אחת.

  עבור כל מספר שלם חיובי k נסמן על ידי `d_k` את מספר המפלגות שקיבלו k או יותר קולות. הוכיחו שהסכום `d_1+d_2+d_3+...` שווה למספר האזרחים שהצביעו בבחירות.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  קומבינטוריקה -> אינדוקציה