תחרות גרוסמן, 2017, צעירים
-
שאלה 1 - הגדלת מלבן
נתון מלבן במישור. האם יכול להיות שאחרי שכל צלע של המלבן הוגדלה ב 1 ס"מ השטח גדל ב 1 מ"ר? הביאו דוגמא או הוכיחו שזה בלתי אפשרי.
(אם המלבן הוא 1x5 אז הוא הופך ל 2x6 ואף צלע לא יכולה להיות 0)
-
שאלה 2 - מקדמים שלמים?
נתונים מספרים ממשיים a,b,c כך שעבור כל מספר שלם x המספר `ax^2+bx+c` שלם. האם זה בהכרח אומר ש a,b,c כולם שלמים? הוכיחו שכן או הביאו דוגמא נגדית.
-
שאלה 3 - שיוויון בשלבים
על הלוח כתובים המספרים 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ודוד אמור לשנות אותם בשלבים. בכל שלב מותר לדוד לבחור שני מספריים ולשנות אותם ב 1, כלומר להוסיף לשניהם 1, להחסיר משניהם 1, או להוסיף לאחד 1 ולהחסיר מהשני 1.
האם דוד יוכל אחרי מספר שלבים להגיע למצב שבו כל המספרים על הלוח שווים? אם כן תראו דוגמא ואם לא נמקו את תשובתכם בפירוט.
נושאים:קומבינטוריקה -> אינווריאנטים לוגיקה -> הגיון תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים -
שאלה 4 - בחירות ממשלתיות
בבחירות לפרלמנט של מדינה מסוימת השתתפו מספר מפלגות (לא ידוע כמה). כל אזרח שהשתתף בבחירות הצביע למפלגה אחת.
עבור כל מספר שלם חיובי k נסמן על ידי `d_k` את מספר המפלגות שקיבלו k או יותר קולות. הוכיחו שהסכום `d_1+d_2+d_3+...` שווה למספר האזרחים שהצביעו בבחירות.
נושאים:קומבינטוריקה -> אינדוקציה