תורת המספרים, חלוקה, זוגיות

זוגיות מתייחסת לשאלה האם מספר שלם הוא זוגי (מתחלק ב-2) או אי-זוגי (אינו מתחלק ב-2). בעיות רבות, במיוחד בתורת המספרים ובקומבינטוריקה, ניתנות לפתרון או לפישוט על ידי התחשבות בזוגיות המספרים המעורבים. שאלות דורשות לעיתים קרובות ניתוח כיצד פעולות משפיעות על זוגיות.

• שאלה

  האם קיים ריבוע שלם שמסתיים בספרות `...2017`?

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• שאלה

  `19` עצי תפוחים ממוקמים במעגל. הוכיחו כי קיים זוג עצים סמוכים, שמספר התפוחים הכולל שיש עליהם הינו זוגי.

  נושאים:

  לוגיקה -> הגיון תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• שאלה

  בארץ הקסומה יש מטבעות של `4`, `7` ו-`10` לירות בלבד. לשלומי יש כרגע רק מטבעות של `4` ושל `10` לירות. ברצונו של שלומי לקנות ספר שעולה `23` לירות. האם הוא יצליח לשלם על הספר ללא עודף?

  נושאים:

  לוגיקה -> הגיון תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות

• שאלה

  האם תוכלו למצוא שני מספרים, שגם סכום, גם מכפלה שלהם אי זוגיים? נמקו או הביאו דוגמה!

  נושאים:

  תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• שאלה

  הוכיחו כי סכום של שני מספרים עוקבים תמיד אי זוגי.

  נושאים:

  תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות הוכחה ודוגמה

• שאלה

  נתבונן במספרים שלמים מ-`1` עד `700`.

  א. כמה מהמספרים האלה זוגיים?

  ב. כמה מהמספרים האלה מתחלקים ב-`7`?

  ג. כמה מהמספרים האלה לא מתחלקים לא ב-`2`, לא ב-`7`?

  ענו את התשובה לסעיף ג

  נושאים:

  תורת המספרים -> מספרים ראשוניים אריתמטיקה תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה קומבינטוריקה -> התאמות תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות תורת המספרים -> המחלק המשותף המקסימלי והכפולה המשותפת המינימלית תורת הקבוצות

• שאלה

  לאורך הרחוב ממוקמים `6` עצים. יום אחד הגיעו `6` תוכים והתיישבו על העצים, תוכי אחד על כל עץ. מידי פעם שני תוכים עוברים כל אחד לעץ סמוך לבחירתו. האם יוכלו התוכים להתכנס כולם על אותו עץ?

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> אינווריאנטים לוגיקה -> הגיון תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות

• מספר פלינדרומי

  מצאו מספר ארבע ספרתי פלינדרומי, שמתחלק ב-25 ולא מתחלק ב-3

  הערה: מספר פלינדרומי הינו מספר שלא ישתנה אם נקרא את הספרות שלו בסדר הפוך. למשל, המספר 5775 הינו מספר פלינדרומי, והמספר 5778 אינו מספר פלינדרומי.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה -> סימני חלוקה ב-3 וב-9 תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה -> סימני חלוקה ב-5 וב-25 קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, שלב א, כיתות ג-ד שאלה 5

• שאלה

  האם יש פתרון בטבעיים למשוואה `x^2 + 12 = y^3` כך ש

  א. x זוגי (קל יותר)

  ב. x אי זוגי

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים -> מספרים ראשוניים תורת המספרים -> חשבון השאריות תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה אריתמטיקה -> חילוק עם שארית אלגברה -> משוואות -> משוואות דיופנטיות
  מקורות:
  • תרגילי מינק וחומרים נוספים מאתר תחרות, תשע"ט, תרגיל 3 שאלה 6

• בוחן

  בכיתה של 25 תלמידים התקיים בוחן המורכב מ-7 שאלות. הוכיחו כי לפחות אחד משני המשפטים הבאים נכון:

  1. יש ילד שפתר מספר אי זוגי של שאלות
  2. יש שאלה שפתרו אותה מספר זוגי של ילדים
  נושאים:

  קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים לוגיקה -> הגיון תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, גמר, כיתות ה-ו שאלה 5