תורת המספרים, מספרים ראשוניים, פרוק לגורמים ראשוניים

פירוק לגורמים ראשוניים הוא תהליך של הבעת מספר פריק כמכפלה ייחודית של מספרים ראשוניים. שאלות כוללות מציאת הפירוק לגורמים ראשוניים של מספרים שלמים ושימוש בו לקביעת תכונות כמו מספר המחלקים, מחלק משותף מקסימלי או כפולה משותפת מינימלית.

• שאלה

  כמה פתרונות במספרים טבעיים יש למשוואה `(2013 - x)(2013-y)=2013^2` ?

  נושאים:

  תורת המספרים -> מספרים ראשוניים -> פרוק לגורמים ראשוניים אלגברה -> משוואות -> משוואות דיופנטיות
  מקורות:
  • אולימפיאדת בנו ארבל, 2013, כיתה ז שאלה 6

• שאלה

  האם קיים מספר טבעי שמכפלת ספרותיו שווה ל-`99`?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים -> מספרים ראשוניים -> פרוק לגורמים ראשוניים

• שאלה

  בתרגיל חשבון הבא ספרות שונות הוחלפו על ידי אותיות שונות, וספרות זהות – על די אותיות זהות. שחזרו את התרגיל:

  `BAOxxBAxxB=2002`

  נושאים:

  אריתמטיקה אלגברה -> משוואות אלגברה -> אי שוויונים לוגיקה -> הגיון תורת המספרים -> מספרים ראשוניים -> פרוק לגורמים ראשוניים קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים חידות ורבוסים -> שחזרו את התרגיל

• באובב

  בתרגיל הבא ספרות זהות הוחלפו באותיות זהות, וספרות שונות הוחלפו באותיות שונות. שחזרו את התרגיל.

  `BAOxxBAxxB = 2002`

   

   

   

   

  נושאים:

  אריתמטיקה תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה לוגיקה -> הגיון תורת המספרים -> מספרים ראשוניים -> פרוק לגורמים ראשוניים קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים חידות ורבוסים -> שחזרו את התרגיל

• שאלה

  מצא את כל המספרים המתחלקים ב30 ובעלי בדיוק 30 מחלקים שונים (לבדיקת התשובה הכניסו את הכמות שלהם)

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה תורת המספרים -> מספרים ראשוניים -> פרוק לגורמים ראשוניים
  מקורות:
  • תחרות הערים, תשמ"ב, אביב

• מספרים פריקים זרים

  יוסי רושם על הלוח מספרים דו ספרתיים פריקים (לא ראשוניים). הוא רוצה שכל המספרים הכתובים על הלוח יהיו זרים זה לזה.
  כמה מספרים יוסי יוכל לכתוב על הלוח לכל היותר?
  הערה: מספרים נקראים זרים, אם אין להם גורמים משותפים חוץ מהמספר 1.

  נושאים:

  לוגיקה -> הגיון תורת המספרים -> מספרים ראשוניים -> פרוק לגורמים ראשוניים תורת המספרים -> המחלק המשותף המקסימלי והכפולה המשותפת המינימלית
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשפ"א, שלב א, כיתות ה-ו שאלה 4

• פירוק ושימוש בנוסחה

  נוסחה מענינת היא `x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1)`.

  א: היעזרו בה ופרקו לגורמים את הביטוי `a^n-b^n`.

  ב: פרקו לגורמים את הביטוי `a^n+b^n` ל n אי זוגי כלשהו.

  ג: הוכיחו שאם `2^n-1` ראשוני אז גם n ראשוני.

  ד: הוכיחו שאם `2^n+1` ראשוני אז n בהכרח חזקה של 2 שזה שקול ל `n=2^m`

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  אלגברה -> טכניקה אלגברית תורת המספרים -> מספרים ראשוניים -> פרוק לגורמים ראשוניים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה
  מקורות:
  • תרגילי הנבחרת הצעירה למדעים, 2024-2025, מטלה 1 שאלה 4

• רב המחלקים

  מבין המספרים החיוביים-שלמים הקטנים מ-1000, מיהו המספר שיש לו הכי הרבה מחלקים?

  נושאים:

  אריתמטיקה תורת המספרים -> מספרים ראשוניים -> פרוק לגורמים ראשוניים תורת המספרים -> המחלק המשותף המקסימלי והכפולה המשותפת המינימלית תורת המספרים -> חלוקה
  מקורות:
  • תחרות החידמטיקה השבועית של בר אילן, 2024 שאלה 3

• צבאו של הסולטן

  סולטן מסוים רצה לשלוח לקרב צבא שניתן היה ליצור ממנו שתי ריבועים מושלמים בשתים עשרה דרכים שונות. מהו המספר הקטן ביותר של אנשים מהם יכול היה להיות מורכב הצבא? כדי להבהיר זאת למתחילים, אסביר שאם היו `130` אנשים, ניתן היה ליצור אותם לשני ריבועים בשתי דרכים שונות בלבד - `81` ו-`49`, או `121` ו-`9`. כמובן, יש להשתמש בכל האנשים בכל הזדמנות.
  נושאים:

  תורת המספרים -> מספרים ראשוניים -> פרוק לגורמים ראשוניים
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 136