תחרות הערים, תשמ"א, אביב, גרסה עיקרית, כיתות ט-י

• שאלה 1

  מצא את כל הפתרונות השלמים `(k>1) y^k=x^2+x`

  נושאים:

  תורת המספרים -> מספרים ראשוניים -> פרוק לגורמים ראשוניים תורת המספרים -> המחלק המשותף המקסימלי והכפולה המשותפת המינימלית אלגברה -> משוואות -> משוואות דיופנטיות

• שאלה 2

  תהי M קבוצה של נקודות במישור. O נקרא מרכז סימטרייה חלקי אם אפשר לזרוק מ-M נקודה כך ש-O יהיה מרכז סימטרייה רגיל של מה שנותר. כמה מרכזי סימטרייה חלקיים יכולים להיות לקבוצת נקודות סופית במישור? 
  ו. פראסולוב 

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה גאומטריה -> גאומטריה במישור -> סימטריה

• שאלה 3

  יהי ABCD מרובע קמור חסום במעגל שאלכסוניו מאונכים זה לזה. O מרכז המעגל. הוכח כי קו שבור AOC מחלק את המרובע לשני חלקים שווי שטח. 
  ו. ווארווארקין 

  נושאים:

  גאומטריה -> חשבון שטחים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> חשבון זוויות

• שאלה 4

  ל- 64 חברים סיפרו באותו זמן 64 חדשות (לכל חבר חדשה אחת). הם מתחילים לטלפן זה לזה ולהתחלף בחדשות. כל שיחה נמשכת שעה אחת. תוך כמה זמן כל החברים יכולים לדעת את כל החדשות? 
  א. אנג'אנס 

  נושאים:

  לוגיקה -> הגיון

• שאלה 5 - זאב וכבשים

  המשחק מתבצע על מישור אינסופי. שחקן אחד מזיז את הזאב ושחקן אחר – 50 כבשים. לאחר מהלך של זאב אחת הכבשים עושה מהלך אחר כך שוב זאב וכך הלאה. במהלך אחד הזאב או הכבשה לא הולכים יותר ממטר אחד לכל צד. האם בכל מצב התחלתי הזאב יוכל לתפוס לפחות כבשה אחת? 

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית קומבינטוריקה -> אינווריאנטים קומבינטוריקה -> תורת המשחקים הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה