אלגברה, משוואות, משוואות דיופנטיות

משוואות דיופנטיות הן משוואות פולינומיאליות, בדרך כלל עם מקדמים שלמים, שעבורן מחפשים רק פתרונות שלמים. שאלות כוללות מציאת פתרונות שלמים אלו, קביעה האם קיימים פתרונות, או מציאת מספר הפתרונות (למשל, משוואות דיופנטיות לינאריות `ax+by=c`).

  • הבעיה של הפסל

    פסל קדום הוזמן לספק שני פסלים, כל אחד על גבי כן מעוקב. אנו עוסקים בכנים אלה. הם היו בגדלים שונים, כפי שניתן לראות באיור, וכאשר הגיע הזמן לתשלום התגלעה מחלוקת בשאלה האם ההסכם התבסס על מדידה קווית או מעוקבת. אך ברגע שהם באו למדוד את שני הכנים, העניין הוסדר מיד, מכיוון שמספר הרגליים הקווי היה זהה בדיוק למספר הרגליים המעוקב. החידה היא למצוא את המידות לשני כנים בעלי תכונה זו, במספרים הקטנים ביותר האפשריים. אתם מבינים, אם שני הכנים, למשל, מודדים `3` רגל ו-`1` רגל בכל צד, אז המדידה הקווית תהיה `4` רגל והתכולה המעוקבת `28` רגל, שאינם זהים, כך שהמידות האלה לא יתאימו. מקורות:

  • הקמצן הספרדי

    בעיירה קטנה בקסטיליה החדשה חי פעם קמצן ידוע בשם דון מנואל רודריגז. אהבתו לכסף הושוותה רק לתשוקה עזה לבעיות אריתמטיות. חידות אלה עסקו בדרך כלל באופן כזה או אחר באוצרותיו שנצברו, והוצעו על ידו אך ורק כדי שיוכל ליהנות מלפתור אותן בעצמו. למרבה הצער, רק מעטות מהן שרדו, וכאשר טיילתי בספרד, ואספתי חומר לעבודה מוצעת על "הבצל הספרדי כגורם לשקיעה לאומית", גיליתי רק מעטות מאוד. אחת מהן עוסקת בשלוש הקופסאות המופיעות בפורטרט האותנטי המצורף. כל קופסה הכילה מספר שונה של דובלוני זהב. ההפרש בין מספר הדובלונים בקופסה העליונה למספר בקופסה האמצעית היה זהה להפרש בין המספר בקופסה האמצעית למספר בקופסה התחתונה. ואם תכולתן של שתיים כלשהן מהקופסאות היו מאוחדות, הן היו יוצרות מספר ריבועי. מהו המספר הקטן ביותר של דובלונים שיכול היה להיות באחת מהקופסאות? מקורות:

  • תשע תיבות האוצר

    החידה הבאה תמחיש את החשיבות של היכולת לקבוע את הגבולות המינימליים והמקסימליים של מספר נדרש. לעתים קרובות ניתן לעשות זאת. לדוגמה, טרם התברר בכמה דרכים שונות ניתן לבצע את מסע הפרש על לוח השחמט; אבל אנו יודעים שזה פחות ממספר הצירופים של `168` דברים שנלקחו `63` בכל פעם ויותר מ-`31,054,144`—כי האחרון הוא מספר המסלולים מסוג מסוים. או, כדי לקחת מקרה מוכר יותר, אם תשאל אדם כמה מטבעות יש לו בכיס, הוא עשוי לומר לך שאין לו מושג קלוש. אבל בחקירה נוספת תוציא ממנו הצהרה כגון: "כן, אני בטוח שיש לי יותר משלושה מטבעות, ובאותה מידה בטוח שאין כל כך הרבה כמו עשרים וחמישה." כעת, הידיעה שמספר מסוים נמצא בין `2` ל-`12` בחידה שלי תאפשר לפותר למצוא את התשובה המדויקת; ללא מידע זה יהיה מספר אינסופי של תשובות, מהן לא ניתן יהיה לבחור את הנכונה.

    זוהי חידה נוספת שהתקבלה מחברי דון מנואל רודריגז, הקמצן התמהוני של ניו קסטיליה. בערב ראש השנה האזרחית בשנת `1879` הוא הראה לי תשע תיבות אוצר, ולאחר שהודיע לי שכל תיבה הכילה מספר ריבועי של דובלונים מוזהבים, ושההפרש בין תכולת A ו-B היה זהה לזה שבין B ו-C, D ו-E, E ו-F, G ו-H, או H ו-I, הוא ביקש ממני לומר לו את מספר המטבעות בכל אחת מהקופסאות. בהתחלה חשבתי שזה בלתי אפשרי, שכן יהיה מספר אינסופי של תשובות שונות, אבל לאחר מחשבה גיליתי שזה לא המקרה. גיליתי שבעוד שכל תיבה הכילה מטבעות, התכולה של A, B, C גדלה במשקל בסדר אלפביתי; כך גם D, E, F; וכך גם G, H, I; אבל D או E לא צריכים להיות כבדים יותר מ-C, וגם G או H לא צריכים להיות כבדים יותר מ-F. כמו כן, היה ברור לחלוטין שתיבה A לא יכולה להכיל יותר מתריסר מטבעות מבחוץ; ייתכן שלא יהיה חצי מהמספר הזה, אבל הייתי בטוח שלא היו יותר משנים עשר. עם הידע הזה הצלחתי להגיע לתשובה הנכונה.

    בקיצור, עלינו לגלות תשעה מספרים ריבועיים כך ש-A, B, C; ו-D, E, F; ו-G, H, I הן שלוש קבוצות בסדרה חשבונית, כאשר ההפרש הקבוע זהה בכל קבוצה, ו-A קטן מ-`12`. כמה דובלונים היו בכל אחת מתשע התיבות?

    מקורות:

  • חמשת השודדים

    חמשת השודדים הספרדים, אלפונסו, בניטו, קרלוס, דייגו ואסטבן, ספרו את שללם לאחר פשיטה, כאשר התגלה שהם שדדו יחד בדיוק `200` דובלונים. אחד מהחבורה ציין שאם לאלפונסו יהיה פי שנים עשר, לבניטו פי שלושה, לקרלוס אותו סכום, לדייגו חצי מהסכום ולאסטבן שליש מהסכום, עדיין יהיו להם יחד בדיוק `200` דובלונים. כמה דובלונים היו לכל אחד?

    ישנן תשובות נכונות רבות באותה מידה לשאלה זו. הנה אחת מהן:

    A 6 × 12 = 72
    B 12 × 3 = 36
    C 17 × 1 = 17
    D 120 × ½ = 60
    E 45 × 1/3 = 15
      200       200

    החידה היא לגלות בדיוק כמה תשובות שונות יש, בהנחה שלכל אחד היה משהו ושאסור שיהיה כסף חלקי — רק דובלונים בכל מקרה.

    בעיה זו, שניסוחה שונה במקצת, הוצגה על ידי טרטליה (נפטר ב-`1559`), והוא החמיא לעצמו שהוא מצא פתרון אחד; אבל מתמטיקאי צרפתי ידוע (M.A. Labosne), בעבודה מהעת האחרונה, אומר שקוראיו יופתעו כאשר הוא מבטיח להם שיש `6,639` תשובות נכונות שונות לשאלה. האם זה כך? כמה תשובות יש?

    מקורות:

  • נשות ההולנדים

    אני תוהה כמה מהקוראים שלי מכירים את החידה של "נשות ההולנדים" —שבה עליכם לקבוע את שמות נשותיהם של שלושה גברים, או, ליתר דיוק, איזו אישה שייכת לכל בעל. לפני כשלושים שנה זה "עבר בין כולם," כמשהו די חדש, אך לאחרונה גיליתי זאת ב-Ladies' Diary עבור `1739-40`, כך שזה היה מוכר בבירור למין היפה לפני יותר ממאה ושבעים שנה. כמה מאמותינו, נשותינו, אחיותינו, בנותינו ודודותינו יוכלו לפתור את החידה היום? נקווה שאחוז גדול בהרבה מאשר אז.

    שלושה הולנדים, בשמות הנדריק, אלס וקורנליוס, ונשותיהם, גורטרון, קטרון ואנה, קונים חזירים. כל אחד קונה כמספר השילינגים שהוא (או היא) נותן עבור אחד. כל בעל משלם בסך הכל שלושה גינאה יותר מאשתו. הנדריק קונה עשרים ושלושה חזירים יותר מקטרון, ואלס אחד-עשר יותר מגורטרון. עכשיו, מה היה שמה של אשת כל גבר?

    מקורות:

  • למצוא את שם המשפחה של עדה

    חידה זו דומה מאוד לחידה האחרונה, והערותיי על פתרונה עשויות להיות שימושיות לקורא במקרה אחר. לאחרונה היא הוגשה לעיתון ערב בסידני העוסק ב"חידוד שכל", אך נדחתה בטענה שהיא ילדותית ושהם מפרסמים רק בעיות הניתנות לפתרון! חמש גברות, מלוות בבנותיהן, קנו בד באותה חנות. כל אחת מעשר הנשים שילמה מספר פרד'ינגים לרגל כמספר הרגליים שקנתה, וכל אם הוציאה `8`s. `5`¼d. יותר מבִתה. גברת רובינסון הוציאה `6`s. יותר מגברת אוונס, שהוציאה בערך רבע מגברת ג'ונס. גברת סמית' הוציאה הכי הרבה. גברת בראון קנתה `21` יארדים יותר מבסי—אחת הבנות. אנני קנתה `16` יארדים יותר ממרי והוציאה £`3, 0`s. `8`d. יותר מאמילי. שמה הפרטי של הבת האחרת היה עדה. עכשיו, מה היה שם המשפחה שלה? מקורות: