גאומטריה, גאומטריה במרחב

גאומטריה במרחב, או גאומטריה תלת-ממדית, מתמקדת בצורות תלת-ממדיות כגון קוביות, כדורים, גלילים, חרוטים ופאונים. שאלות כוללות בדרך כלל חישוב שטחי פנים ונפחים שלהם, הבנת תכונותיהם והדמיית יחסים ביניהם במרחב תלת-ממדי.

• שאלה

  חותכים קובייה עם צלע של מטר אחד לקוביות עם צלע של סנטימטר אחד. אם נשים את כל הקוביות שהתקבלו בשורה, מה יהיה אורך השורה?

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במרחב אריתמטיקה אלגברה -> בעיות מילוליות יחידות מידה

• שאלה

  נתון חרוט (בעל ציר סימטריה במרכזו, המאונך לבסיסו) שגובהו 6 ובסיסו הוא עיגול בעל רדיוס `sqrt2` . בתוך החרוט חסומה קובייה – היא מונחת על בסיס החרוט וכל קדקודיה העליונים נוגעים בחרוט. מצאו את אורך הצלע של הקובייה. נמקו את תשובתכם.

  

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במרחב אלגברה -> משוואות גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משפט פיתגורס גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים -> דמיון משולשים
  מקורות:
  • אולימפיאדת גיליס, תשע"ו שאלה 2

• שאלה

  בקודקודים של קובייה רשומים המספרים `1`, `2`, `3`, ..., `8`. הוכיחו כי קיים מקצוע של הקובייה שההפרש בין המספרים שעומדים בקצותיו לפחות `3`.

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במרחב קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים קומבינטוריקה -> תורת הגרפים לוגיקה -> הגיון הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• שאלה

  `120` כדורים זהים מונחים בצורה של פירמידה משולשת. כמה שכבות יש בפירמידה?

  הערה: מדובר בפירמידה, שהיא צורה תלת מימדית, ולא במשולש במישור.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במרחב אריתמטיקה לוגיקה -> הגיון הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה אלגברה -> סדרות -> סדרה חשבונית אלגברה -> סדרות -> השלימו\המשיכו סדרה תורת המספרים -> מספרים משולשיים

• שאלה

  חותכים קובייה עם צלע של מטר אחד לקוביות עם צלע של סנטימטר אחד. אם נשים את כל הקוביות שהתקבלו בשורה, מה יהיה אורך השורה(בקילומטרים)?

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במרחב אריתמטיקה יחידות מידה

• נפח התיבה

  נתונה תיבה ששטחי הפאות שלה הם 6,10 ו-15.מצאו את הנפח שלה.

  

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במרחב אלגברה -> טכניקה אלגברית -> שורשים
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ט, שלב א, כיתות ה-ו שאלה 4

• קוביות משחק

  לאביב יש קוביות משחק, שבכל אחת מהן שתי פאות נגדיות צבועות באדום והשאר בכחול.
  אביב הדביק קובייה `2 times 2 times 2` מקוביות המשחק. לאחר מכן הגיע חברו כפיר וחישב את כל
  השטח האדום על פני הקובייה הגדולה. מהי התוצאה הגדולה ביותר שכפיר יכול לקבל?

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במרחב
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, שלב א, כיתות ג-ד שאלה 6

• עוד קוביות משחק

  לאביב יש קוביות משחק, שבכל אחת מהן שתי פאות נגדיות צבועות באדום והשאר בכחול.
  אביב הדביק קובייה 3 × 3 × 3 מקוביות המשחק. לאחר מכן הגיע חברו כפיר וחישב את כל השטח האדום על פני הקובייה הגדולה.
  מהי התוצאה הגדולה ביותר שכפיר יכול לקבל?

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במרחב קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית בעיות מינימום ומקסימום קומבינטוריקה -> צביעות
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, שלב א, כיתות ה-ו שאלה 6

• מקיפים בעיגולים

  נתונים שני משולשים ACE, BDF
  שנחתכים ב-6 נקודות: G,H,I,J,K,L
  כמתואר בציור. נתון כי בכל אחד מהמרובעים
  EFGI ,DELH ,CDKG ,BCJL ,ABIK ניתן לחסום מעגל.
  האם ייתכן שגם במרובע FAHJ ניתן לחסום מעגל?
  

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במרחב גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים אלגברה -> משוואות אלגברה -> אי שוויונים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה גאומטריה -> גאומטריה במישור -> חשבון זוויות
  מקורות:
  • אולימפיאדת גיליס, תש"פ שאלה 5

• שאלה

  נתון מגדל בצורת תיבה. גובהו 61 מטרים, ובסיסו הוא ריבוע שצלעו 9 מטרים. על הגג,
  בנקודה שנמצאת במרחק של שני מטרים מהקיר הצפוני ושני מטרים מהקיר המערבי, שפכו
  מיץ. נמלה נמצאת בתחתית המגדל, בפינה הדרום מזרחית. לנמלה יש חוש ריח מעולה ולכן
  היא מרגישה איפה בדיוק נשפך המיץ. מהו המרחק המינימלי שהיא צריכה לעבור בשביל
  להגיע לנקודה הזאת? (הנמלה יכול לזחול על הקירות והגג.)
  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במרחב גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משפט פיתגורס
  מקורות:
  • מבחני בחירה ל-IMO בישראל, תשע"ב, שלב א שאלה 9