אלגברה, אי שוויונים

אי-שוויונים הם טענות המשוות שני ביטויים באמצעות סמלים כמו <, >, \le, \ge. נושא זה כולל פתרון אי-שוויונים (לינאריים, ריבועיים, ערך מוחלט), הוכחת אי-שוויונים אלגבריים או גאומטריים (למשל, אי-שוויון הממוצעים), והבנת תכונותיהם.

• שאלה

  על הלוח כתובים כל המספרים מ-1 עד `10^9` (כולל `10^9`). המספרים שמתחלקים ב-3 כתובים באדום, ושאר המספרים בכחול. סכום של כל המספרים האדומים שווה ל- `X`, וסכום של כל המספרים הכחולים שווה ל- `Y`. איזה מספר גדול יותר, `2X` או `Y`, ובכמה?

  נושאים:

  אריתמטיקה תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה -> סימני חלוקה ב-3 וב-9 לוגיקה -> הגיון אלגברה -> סדרות אלגברה -> אי שוויונים -> ממוצעים תורת המספרים -> חלוקה
  מקורות:
  • אולימפיאדת בנו ארבל, 2017, כיתה ח שאלה 2

• המוכר והבַּדָּר

  ל"מוכר ובַּדָּר" כפרי היו שני עוזרים יריבים, שהתגאו במהירותם בשירות לקוחות. הצעיר בצד המכולת יכול היה לשקול שתי חבילות סוכר של ליברה אחת לדקה, בעוד עוזר הבדים יכול היה לחתוך שלושה אורכים של יארד אחד של בד באותו זמן. המעסיק שלהם, ביום רגוע אחד, ערך להם מרוץ, נתן למוכר חבית סוכר ואמר לו לשקול ארבעים ושמונה חבילות סוכר של ליברה אחת, בעוד הבַּדָּר חילק גליל של ארבעים ושמונה יארד של בד לחתיכות של יארד. שני הגברים הופרעו יחד על ידי לקוחות במשך תשע דקות, אך הבַּדָּר הופרע פי שבע עשרה יותר זמן מהמוכר. מה הייתה תוצאת המרוץ?
  נושאים:

  אריתמטיקה אלגברה -> בעיות מילוליות אלגברה -> אי שוויונים -> ממוצעים יחידות מידה
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 34

• שק האגוזים

  לשלושה בנים ניתנה שקית אגוזים כמתנת חג המולד, והוסכם שהם יחולקו ביחס לגילם, שביחד הסתכם ל-`17 1/2` שנים. עכשיו השק הכיל `770` אגוזים, וכאשר הרברט לקח ארבעה, רוברט לקח שלושה, וכאשר הרברט לקח שישה, כריסטופר לקח שבעה. החידה היא לגלות כמה אגוזים היו לכל אחד, ומה היו הגילאים של הבנים.

  נושאים:

  אלגברה -> בעיות מילוליות אריתמטיקה -> שברים אלגברה -> אי שוויונים -> ממוצעים תורת המספרים -> חלוקה
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 50

• מהירות ממוצעת

  בנסיעה מוטורית שנערכה לאחרונה, התגלה שנסענו במהירות של עשרה מיילים לשעה, אך את מסע החזרה באותו מסלול עשינו, עקב כבישים פנויים יותר מתנועה, במהירות של חמישה עשר מיילים לשעה. מה הייתה המהירות הממוצעת שלנו? אל תמהרו מדי בתשובתכם לשאלה הקטנה והפשוטה הזו, אחרת כמעט בטוח שתטעו.
  נושאים:

  אלגברה -> אי שוויונים -> ממוצעים אלגברה -> בעיות מילוליות -> בעיות תנועה
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 67

• ערימות החציר

  לחקלאי טומפקינס היו חמש ערימות חציר, והוא אמר לעובד שלו, הודג', לשקול אותן לפני שהוא מעביר אותן ללקוח. הטיפש שקל אותן שתיים בכל פעם בכל הדרכים האפשריות, ודיווח לאדונו שהמשקלים בלירות שטרלינג היו `110, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 120`, ו-`121`. עכשיו, איך החקלאי טומפקינס יכול לגלות מהנתונים האלה כמה כל אחת מחמש ערימות החציר שקלה בנפרד? הקורא אולי יחשוב תחילה שהוא צריך לקבל מידע לגבי "איזה זוג הוא איזה זוג", או משהו בסגנון, אבל זה ממש לא הכרחי. האם אתה יכול לתת את חמשת המשקלים הנכונים?
  נושאים:

  אלגברה -> משוואות אלגברה -> בעיות מילוליות אלגברה -> אי שוויונים -> ממוצעים
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 101

• חופשת הכורים

  שבעה כורי פחם יצאו לחופשה בחוף הים במהלך שביתה גדולה. שישה מהחבורה הוציאו בדיוק חצי ליש"ט כל אחד, אבל ביל האריס היה יותר פזרן. ביל הוציא שלושה שילינג יותר מהממוצע של החבורה. מה היה סכום ההוצאה המדויק של ביל?
  נושאים:

  אלגברה -> בעיות מילוליות אלגברה -> אי שוויונים -> ממוצעים
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 125

• צרצר איטי

  במשחק המחוז האחרון בין ווסקס לנינקומשייר, הקבוצה הראשונה הייתה על המגרש כל היום, השחקן האחרון הוצא כמה דקות לפני הזמן לסיום המשחק. המשחק היה כל כך איטי שרוב הצופים נרדמו עמוק, וכשהתעוררו על ידי אחד הפקידים שפינה את השטח, למדנו ששני שחקנים הוצאו בפסיקה לג-בפור-וויקט עם ציון משולב של `19` ריצות; ארבעה שחקנים נתפסו עם ציון משולב של `17` ריצות; שחקן אחד הודח בריצה עם ניקוד אפס; והשאר הודחו באמצעות באולינג עבור `3` ריצות כל אחד. לא היו תוספות. לא נאמר לנו מי מהשחקנים היה הקפטן, אבל הוא השיג בדיוק `15` יותר מהממוצע של הקבוצה שלו. מה היה הניקוד של הקפטן?
  נושאים:

  אלגברה -> בעיות מילוליות אלגברה -> אי שוויונים -> ממוצעים
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 388