אלגברה, אי שוויונים

אי-שוויונים הם טענות המשוות שני ביטויים באמצעות סמלים כמו <, >, \le, \ge. נושא זה כולל פתרון אי-שוויונים (לינאריים, ריבועיים, ערך מוחלט), הוכחת אי-שוויונים אלגבריים או גאומטריים (למשל, אי-שוויון הממוצעים), והבנת תכונותיהם.

• שאלה

  צלעות המשולש a,b,c ואורכי התיכונים המתאימים הם `m_a , m_b, m_c` הראו כי

  `sum_{cyc} m_a / a >= {3( m_a + m_b + m_c)} /{a + b + c}`

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים אלגברה -> אי שוויונים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> אי שוויון המשולש
  מקורות:
  • תרגילי מינק וחומרים נוספים מאתר תחרות, תשע"ט, תרגיל 1

• שאלה

  נתונים מספרים טבעיים m,n כך ש`m/n <= sqrt 23` הוכיחו כי `m/n+3/{mn} <= sqrt 23`

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות אלגברה -> אי שוויונים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה אלגברה -> טכניקה אלגברית -> שורשים
  מקורות:
  • תרגילי מינק וחומרים נוספים מאתר תחרות, תשע"ט, תרגיל 3 שאלה 4

• מקיפים בעיגולים

  נתונים שני משולשים ACE, BDF
  שנחתכים ב-6 נקודות: G,H,I,J,K,L
  כמתואר בציור. נתון כי בכל אחד מהמרובעים
  EFGI ,DELH ,CDKG ,BCJL ,ABIK ניתן לחסום מעגל.
  האם ייתכן שגם במרובע FAHJ ניתן לחסום מעגל?
  

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במרחב גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים אלגברה -> משוואות אלגברה -> אי שוויונים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה גאומטריה -> גאומטריה במישור -> חשבון זוויות
  מקורות:
  • אולימפיאדת גיליס, תש"פ שאלה 5

• מעגל המספרים

  במעגל רשומים המספרים 1 עד 6 לפי הסדר, כמתואר בציור.
  בכל מהלך, ליאור בוחר מספר כלשהו a במעגל ששכניו b,c ורושם
  במקומו את המספר `(bc)/a`.
  האם ליאור יכול להגיע למצב שבו מכפלת המספרים במעגל גדולה מ- `10^100`
  (א) ב- 100 מהלכים.
  (ב) ב- 110 מהלכים

  

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים אלגברה -> אי שוויונים אלגברה -> סדרות
  מקורות:
  • אולימפיאדת גיליס, תש"פ שאלה 6

• מעגל חסום במשולש

  בתוך משולש נמצאת נקודה P, שמרחקיה מהישרים עליהם נמצאות צלעות המשולש הם `d_a,d_b,d_c` נסמן ב R 
  את רדיוס המעגל החוסם את המשולש וב r את רדיוס המעגל החסום במשולש. הראו כי `sqrt(d_a)+sqrt(d_b)+sqrt(d_3)<= sqrt (2R+5r) `.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים אלגברה -> אי שוויונים
  מקורות:
  • אולימפיאדת גיליס, תש"פ שאלה 7

• אורכי צלעות משולש

  יהי `n > 2` מספר שלם, ויהיו ` t_1,t_2,...,t_n` מספרים ממשיים חיוביים כך ש

  `(t_1+t_2+...+t_n)(1/t_1 + 1/t_2 + ... + 1/t_n) < n^2+1`

  הוכח כי לכל i,j,k כך ש- `1<=i<j<k<=n`, שלשת המספרים `t_i,t_j,t_k` הם אורכי הצלעות של משולש.

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים אלגברה -> אי שוויונים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה גאומטריה -> גאומטריה במישור -> אי שוויון המשולש
  מקורות:
  • תחרות גרוסמן, 2006 שאלה 5

• פולינום עם מקדמים שלמים

  יהי (p(x פולינום עם מקדמים שלמים המקיים `p(-2006) < p(2006)=2005`. הוכח ש- `p(-2006)<=-2007`.
   

  נושאים:

  תורת המספרים אלגברה -> טכניקה אלגברית אלגברה -> אי שוויונים
  מקורות:
  • תחרות גרוסמן, 2006 שאלה 6

• שאלה

  נניח ש- `x,y,z` מספרים חיוביים שסכומם 1. מהו הערך הקטן ביותר שיכול לקבל המספר הגדול מבין `x/5, y/7, z/11`?

  נושאים:

  אלגברה -> אי שוויונים בעיות מינימום ומקסימום
  מקורות:
  • מבחני בחירה ל-IMO בישראל, תשע"א, שלב א שאלה 3

• שאלה

  מצאו את הערך המקסימלי האפשרי של `(3+sqrt(289-y^2) + x)^2 + (4+sqrt(64-x^2) + y)^2` בהנחה ש `-17<=y<=17`, `-8<= x <=8`
  נושאים:

  אלגברה -> אי שוויונים בעיות מינימום ומקסימום אלגברה -> טכניקה אלגברית -> שורשים
  מקורות:
  • מבחני בחירה ל-IMO בישראל, תשפ"ה, שלב ב שאלה 4

• שאלה

  שוקי הלך במשך 3.5 שעות. בכל פרק זמן של שעה הוא עבר 5 ק"מ. האם נובע מכך שמהירותו הממוצעת של שוקי במשך הזמן כל הזמן הזה הינה 5 ק"מ לשעה? 

  נושאים:

  אלגברה -> בעיות מילוליות אלגברה -> אי שוויונים -> ממוצעים