אלגברה, אי שוויונים

אי-שוויונים הם טענות המשוות שני ביטויים באמצעות סמלים כמו <, >, \le, \ge. נושא זה כולל פתרון אי-שוויונים (לינאריים, ריבועיים, ערך מוחלט), הוכחת אי-שוויונים אלגבריים או גאומטריים (למשל, אי-שוויון הממוצעים), והבנת תכונותיהם.

• שאלה

  מצאו את כל המספרים הטבעיים בעלי התכונה הבאה: אם נחלק אותם ב-7 עם שארית, השארית תהיה שווה למנה.

  נושאים:

  תורת המספרים אלגברה -> אי שוויונים קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים אריתמטיקה -> חילוק עם שארית

• שאלה

  מצאו את כל המספרים הדו ספרתיים `A` כך שריבוע של סכום ספרותיו של `A` שווה לסכום הספרות של `A^2`.

  נושאים:

  תורת המספרים אריתמטיקה אלגברה -> אי שוויונים קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים

• שאלה

  האם מכפלתם של שני מספרים טבעיים עוקבים יכולה להיות שווה למכפלה של שני מספרים זוגיים עוקבים?

  נושאים:

  תורת המספרים אלגברה -> אי שוויונים קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• שאלה

  `10` ספרים זהים עולים יותר מ-`11` דולר, ו-`9` ספרים מאותו הסוג עולים פחות מ-`10` דולר. כמה עולה ספר אחד?

  נושאים:

  אלגברה -> אי שוויונים אלגברה -> בעיות מילוליות קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים

• שאלה

  נתונים שלושה מספרים ממשיים `a`, `b` ו-`c`. ידוע כי `a+b+c>0`, `ab+bc+ca>0` ו-`abc>0`. הוכיחו כי `a>0`, `b>0` ו-`c>0`.

  נושאים:

  אלגברה -> אי שוויונים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• שאלה

  איזה מספר גדול יותר: `sqrt(2016+2017)` או `sqrt(2016)+sqrt(2017)`?

  נושאים:

  אלגברה -> טכניקה אלגברית -> נוסחאות כפל מקוצר אלגברה -> אי שוויונים אלגברה -> טכניקה אלגברית -> שורשים

• דובדבנים ואוכמניות

  `175` ק"ג דובדבנים עולים יותר מ-`125` ק"ג אוכמניות, אבל פחות מ-`126` ק"ג אוכמניות. בנוסף, ידוע שקילוגרם של דובדבנים עולה מספר שלם של שקלים, וגם קילוגרם של אוכמניות עולה מספר שלם של שקלים.

  הוכיחו כי `80` שקלים זה לא מספיק כדי לקנות קילוגרם אחד של אוכמניות ושלושה קילוגרמים של דובדבנים.

  ס.פומין

  נושאים:

  תורת המספרים אריתמטיקה אלגברה -> אי שוויונים אלגברה -> בעיות מילוליות
  מקורות:
  • תחרות הערים, תשמ"ד, סתיו, גרסת תרגול, כיתות ט-י שאלה 1 נקודות 3

• שאלה

  אבי הזמין אורחים. הם יודעים שהוא גר בדירה `333`, בכניסה מספר `10`, אבל הם לא יודעים באיזו קומה. בבניין יש `9` קומות, וידוע שבכל קומה יש מספר שווה של דירות. ברצונם של האורחים להשתמש במעלית. האם הם יכולים לחשב מראש, איזו קומה במעלית הם צריכים ללחוץ?

  נושאים:

  אלגברה -> אי שוויונים אלגברה -> בעיות מילוליות אריתמטיקה -> חילוק עם שארית

• שאלה

  המספרים `1`, `2`, `3`, ..., `9` מחלוקים ל-`3` קבוצות. הוכיחו כי ישנה קבוצה בה מכפלת המספרים גדולה או שווה ל-`72`.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים אלגברה -> אי שוויונים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• שאלה

  בתרגיל חשבון הבא ספרות שונות הוחלפו על ידי אותיות שונות, וספרות זהות – על די אותיות זהות. שחזרו את התרגיל:

  `BAOxxBAxxB=2002`

  נושאים:

  אריתמטיקה אלגברה -> משוואות אלגברה -> אי שוויונים לוגיקה -> הגיון תורת המספרים -> מספרים ראשוניים -> פרוק לגורמים ראשוניים קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים חידות ורבוסים -> שחזרו את התרגיל