אריתמטיקה, שברים

שברים מייצגים חלקים משלם או יחסים בין מספרים. נושא זה מכסה הבנה, השוואה, צמצום וביצוע פעולות אריתמטיות (חיבור, חיסור, כפל, חילוק) עם שברים ומספרים מעורבים. שאלות כוללות לעיתים קרובות יישומים מעשיים.

  • חידת המאה

    האם תוכלו לכתוב `100` בצורה של מספר מעורב, תוך שימוש בכל תשע הספרות פעם אחת בלבד? המתמטיקאי הצרפתי המכובד, אדוארד לוקאס, מצא שבע דרכים שונות לעשות זאת, והביע את ספקותיו לגבי קיומן של דרכים אחרות. למעשה יש בדיוק אחת-עשרה דרכים ולא יותר. הנה אחת מהן, `91 5742/638`. בתשע מהדרכים האחרות יש באופן דומה שתי ספרות בחלק השלם של המספר, אך לביטוי האחד-עשר יש רק ספרה אחת שם. האם הקורא יכול למצוא את הצורה האחרונה הזו?

    מקורות:

  • עוד שברים מעורבים

    כשפרסמתי לראשונה את הפתרון שלי לחידה האחרונה, זה הוביל אותי לנסות לבטא את כל המספרים בזה אחר זה עד `100` על ידי שבר מעורב המכיל את כל תשע הספרות. הנה שנים עשר מספרים שהקורא ינסה את כוחו בהם: `13, 14, 15, 16, 18, 20, 27, 36, 40, 69, 72, 94`. השתמשו בכל אחת מתשע הספרות פעם אחת בלבד, בכל מקרה.

    מקורות:

  • ארבע פעמים שבע

    באיור נראה פרופסור ראקבריין מדגים אחד מהתחבולות הקטנות שבהן הוא רגיל לבדר את הכיתה שלו. הוא מאמין שעל ידי הוצאת תלמידיו ממסלולים שחוקים הוא מסוגל יותר להבטיח את תשומת ליבם, ולגרום לשיטות חשיבה מקוריות ומתוחכמות. כפי שנראה, הוא בדיוק הראה כיצד ניתן לכתוב ארבע פעמים `5` עם סימנים אריתמטיים פשוטים כך שיצייגו `100`. כל קורא צעיר יראה במבט חטוף שהדוגמה שלו נכונה לחלוטין. עכשיו, מה שהוא רוצה שתעשו זה: סדרו ארבע פעמים `7` (לא יותר ולא פחות) עם סימנים אריתמטיים כך שהם ייצגו `100`. אם הוא היה אומר שעלינו להשתמש בארבע פעמים `9`, מיד היינו יכולים לכתוב `99 9/9`, אבל ארבע פעמים `7` דורשות קצת יותר תושייה. האם תוכלו לגלות את הטריק הקטן?

    מקורות:

  • המרוץ הגדול

    לאחר ארוחת הערב, חמשת הנערים במשק בית מצאו חבילת סוכריות שזיפים. זה היה שלל בלתי צפוי לחלוטין, ובעקבותיו התרחש מרוץ מרגש, שאת פרטיו המלאים אספר בדייקנות, מכיוון שהוא מהווה חידה מעניינת.

    תבינו, אנדרו הצליח להשיג בדיוק שני שלישים מחבילת סוכריות השזיפים. בוב מיד חטף שלושה שמיניות מהן, וצ'רלי הצליח לתפוס גם הוא שלושה עשיריות. ואז הצעיר דייויד הסתער על הזירה, ולכד את כל מה שאנדרו השאיר, מלבד שביעית אחת, שאדגר השיג לעצמו בערמומיות בתחבולה מחוכמת. עכשיו הכיף התחיל ברצינות, כי אנדרו וצ'רלי תקפו יחד את בוב, שמעד על האח והפיל חצי מכל מה שהיה לו, אשר נאספו באופן שווה על ידי דייויד ואדגר, שזחלו מתחת לשולחן וחיכו. אחר כך, בוב זינק על צ'רלי מכיסא, והפיל את כל האוסף של האחרון על הרצפה. מהפרס הזה אנדרו קיבל בדיוק רבע, בוב אסף שליש, דייויד קיבל שני שביעיות, בעוד שצ'רלי ואדגר חילקו שווה בשווה את מה שנשאר מהמלאי הזה.  

    הם בדיוק חשבו שהקרב הסתיים כשדייויד פתאום יצא לשני כיוונים בבת אחת, והפיל שלושה רבעים ממה שבוב ואנדרו רכשו לאחרונה. השניים האחרונים, בקושי רב, החזירו חמישה שמיניות מזה בחלקים שווים, אך שלושת האחרים לקחו כל אחד חמישית מאותו הדבר. כל סוכריית שזיפים נספרה כעת, והם הכריזו על הפסקת אש, וחילקו שווה בשווה ביניהם את שארית החבילה. מהו המספר הקטן ביותר של סוכריות שזיפים שיכול היה להיות בהתחלה, ואיזה חלק קיבל כל ילד?

    מקורות:

  • מורשת מבלבלת

    אדם הוריש מאה דונם אדמה לחלוקה בין שלושת בניו - אלפרד, בנימין וצ'ארלס - ביחס של שליש, רבע וחמישית בהתאמה. אבל צ'ארלס נפטר. איך יש לחלק את האדמה בצורה הוגנת בין אלפרד ובנימין? מקורות:

  • קושי משפטי

    "אחד הלקוחות שלי", אמר עורך דין, "היה על סף מוות כאשר אשתו עמדה ללדת לו ילד. ערכתי את צוואתו, שבה הוא העביר שני שלישים מעיזבונו לבנו (אם יקרה שזה יהיה בן) ושליש אחד לאם. אבל אם הילד תהיה בת, אז שני שלישים מהעיזבון צריכים לעבור לאם ושליש אחד לבת. למעשה, לאחר מותו נולדו תאומים - בן ובת. ואז עלתה נקודה נחמדה מאוד. איך לחלק את העיזבון בצורה הוגנת בין שלושתם בהתאם לרוח צוואתו של המנוח ככל האפשר?" מקורות:

  • הבעיה של הפסל

    פסל קדום הוזמן לספק שני פסלים, כל אחד על גבי כן מעוקב. אנו עוסקים בכנים אלה. הם היו בגדלים שונים, כפי שניתן לראות באיור, וכאשר הגיע הזמן לתשלום התגלעה מחלוקת בשאלה האם ההסכם התבסס על מדידה קווית או מעוקבת. אך ברגע שהם באו למדוד את שני הכנים, העניין הוסדר מיד, מכיוון שמספר הרגליים הקווי היה זהה בדיוק למספר הרגליים המעוקב. החידה היא למצוא את המידות לשני כנים בעלי תכונה זו, במספרים הקטנים ביותר האפשריים. אתם מבינים, אם שני הכנים, למשל, מודדים `3` רגל ו-`1` רגל בכל צד, אז המדידה הקווית תהיה `4` רגל והתכולה המעוקבת `28` רגל, שאינם זהים, כך שהמידות האלה לא יתאימו. מקורות:

  • השאלה של הדוקטור

    "נקודה קטנה ומסקרנת עלתה בדעתי במרפאה שלי הבוקר", אמר רופא. "הייתה לי בקבוק שהכיל עשרה אונקיות של כוהל, ובקבוק אחר שהכיל עשרה אונקיות של מים. מזגתי רבע אונקיה של כוהל לתוך המים וניערתי אותם יחד. התערובת הייתה אז בבירור ארבעים לאחד. אחר כך מזגתי חזרה רבע אונקיה מהתערובת, כך ששני הבקבוקים יכילו שוב כל אחד את אותה כמות נוזל. מה היה היחס בין כוהל למים שהכיל בקבוק הכוהל אז?" מקורות:

  • יין ומים

    למר גודפלו יש רעיון מצוין שהוא אימץ לאחרונה. כאשר הוא עורך מסיבת ארוחת ערב קטנה ומגיע הזמן לעשן, לאחר עזיבתן של הנשים, הוא מוצא לעיתים שהשיחה עלולה להפוך פוליטית מדי, אישית מדי, איטית מדי או שערורייתית מדי. אז הוא תמיד מצליח להציג לחברה איזו חידה חדשה שהוא הסתיר בשרוולו לרגל האירוע. זה תמיד גורם לאינסוף דיונים וויכוחים מעניינים, ומכניס את כולם למצב רוח טוב.

    הנה חידה קטנה שהוא הציג בלילה הקודם, וזה יוצא דופן עד כמה החברה חלקה על תשובותיהם. הוא מילא כוס יין בחצי יין, וכוס נוספת כפולה בגודלה בשליש יין. אחר כך מילא כל כוס במים וריקן את תכולת שתיהן לכוס גדולה. "עכשיו," הוא אמר, "איזה חלק מהתערובת הוא יין ואיזה חלק מים?" האם תוכלו לתת את התשובה הנכונה?

    מקורות:

  • חביות הדבש

     

    לפני זמן רב היה סוחר קשיש מבגדד שהיה מכובד מאוד על ידי כל מי שהכיר אותו. היו לו שלושה בנים, והיה לו כלל בחיים להתייחס לכולם בדיוק אותו הדבר. בכל פעם שאחד קיבל מתנה, שני האחרים קיבלו כל אחד מתנה בשווי שווה. יום אחד האיש הראוי הזה חלה ומת, והוריש את כל רכושו לשלושת בניו בחלקים שווים.

    הקושי היחיד שהתעורר היה בנוגע למלאי הדבש. היו בדיוק עשרים ואחת חביות. הזקן השאיר הוראות שלא רק שכל בן יקבל כמות שווה של דבש, אלא יקבל בדיוק את אותו מספר חביות, ושאף דבש לא יועבר מחבית לחבית בגלל הבזבוז הכרוך בכך. כעת, מכיוון ששבע מהחביות הללו היו מלאות בדבש, שבע היו חצי מלאות ושבע היו ריקות, התברר שזה די פאזל, במיוחד כאשר כל אח התנגד לקחת יותר מארבע חביות מאותו תיאור—מלאות, חצי מלאות או ריקות. האם אתה יכול להראות כיצד הם הצליחו לבצע חלוקה נכונה של הרכוש?

    מקורות: