תורת המספרים, המחלק המשותף המקסימלי והכפולה המשותפת המינימלית

המחלק המשותף המקסימלי (ממ"מ) של שני מספרים שלמים הוא המספר השלם הגדול ביותר שמחלק את שניהם. הכפולה המשותפת המינימלית (כמ"מ) היא המספר השלם החיובי הקטן ביותר שהוא כפולה של שניהם. שאלות כוללות מציאת ממ"מ וכמ"מ (למשל, באמצעות פירוק לגורמים או אלגוריתם אוקלידס) ופתרון בעיות תוך שימוש בתכונותיהם.

• המספר

  נתון מספר שלם חיובי שקטן מ-2000.
  אם הוא לא מתחלק ב-43 אז הוא מתחלק ב-41,
  אםהוא לא מתחלק ב-53 אז הוא מתחלק ב-43,
  אם הוא לא מתחלק ב-41 אז הוא מתחלק ב-53.
  מצאו את המספר.

  נושאים:

  תורת המספרים -> מספרים ראשוניים אריתמטיקה תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה לוגיקה -> הגיון תורת המספרים -> המחלק המשותף המקסימלי והכפולה המשותפת המינימלית קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים תורת המספרים -> חלוקה
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, שלב ב, כיתות ג-ד שאלה 6
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, שלב ב, כיתות ה-ו שאלה 4

• מספרים פריקים זרים

  יוסי רושם על הלוח מספרים דו ספרתיים פריקים (לא ראשוניים). הוא רוצה שכל המספרים הכתובים על הלוח יהיו זרים זה לזה.
  כמה מספרים יוסי יוכל לכתוב על הלוח לכל היותר?
  הערה: מספרים נקראים זרים, אם אין להם גורמים משותפים חוץ מהמספר 1.

  נושאים:

  לוגיקה -> הגיון תורת המספרים -> מספרים ראשוניים -> פרוק לגורמים ראשוניים תורת המספרים -> המחלק המשותף המקסימלי והכפולה המשותפת המינימלית
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשפ"א, שלב א, כיתות ה-ו שאלה 4

• רב המחלקים

  מבין המספרים החיוביים-שלמים הקטנים מ-1000, מיהו המספר שיש לו הכי הרבה מחלקים?

  נושאים:

  אריתמטיקה תורת המספרים -> מספרים ראשוניים -> פרוק לגורמים ראשוניים תורת המספרים -> המחלק המשותף המקסימלי והכפולה המשותפת המינימלית תורת המספרים -> חלוקה
  מקורות:
  • תחרות החידמטיקה השבועית של בר אילן, 2024 שאלה 3

• שאלה

  מצא את המספר השלם החיובי הקטן ביותר N, שעבורו המספר `N/2 + N/3 + N/4 + N/5 + N/6` הוא גם מספר שלם.

  נושאים:

  אריתמטיקה -> שברים תורת המספרים -> המחלק המשותף המקסימלי והכפולה המשותפת המינימלית
  מקורות:
  • מבחני בחירה ל-IMO בישראל, תשע"ב, שלב א שאלה 1

• נשות השוק

  מספר נשות שוק מכרו את מוצריהן השונים במחיר מסוים לליברה (שונה בכל מקרה), וכל אחת קיבלה את אותו הסכום - `2`s. `2`½d. מהו המספר הגדול ביותר של נשים שיכלו להיות שם? המחיר לליברה בכל מקרה חייב להיות כזה שניתן לשלם אותו בכסף מקובל.
  נושאים:

  אריתמטיקה אלגברה -> בעיות מילוליות תורת המספרים -> המחלק המשותף המקסימלי והכפולה המשותפת המינימלית בעיות מינימום ומקסימום
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 18