מבחני בחירה ל-IMO בישראל, תשע"ב, שלב א

• שאלה 1

  מצא את המספר השלם החיובי הקטן ביותר N, שעבורו המספר `N/2 + N/3 + N/4 + N/5 + N/6` הוא גם מספר שלם.

  נושאים:

  אריתמטיקה -> שברים תורת המספרים -> המחלק המשותף המקסימלי והכפולה המשותפת המינימלית

• שאלה 2

  שבעה סמוראים נלחמים זה בזה. כאשר סמוראי נפגע שלוש פעמים, הוא מת, ולא ניתן לפגוע בו יותר. ייתכן כי שני סמוראים יפגעו זה בזה בו זמנית. נתון כי כמות הפגיעות הכוללת שהנחית כל סמוראי שונה מהכמות שהנחית כל סמוראי אחר.
  כמה סמוראים עלולים להיהרג בקרב? מצא את כל התשובות האפשריות.

  נושאים:

  אריתמטיקה לוגיקה -> הגיון קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים

• שאלה 3

  מסביב לשולחן עגול יושבים לפחות שלושה אנשים, מתוכם t דוברי אמת ו- f שקרנים.
  דוברי אמת תמיד אומרים אמת, שקרנים תמיד משקרים.
  כל אחד מהם טוען, ששני השכנים שלו הם מאותו סוג. מה יכול להיות ערך היחס `f/t`?
  עליך למצוא את כל התשובות האפשריות.

  נושאים:

  לוגיקה -> הגיון קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים לוגיקה -> דוברי אמת ושקרנים

• שאלה 4

  פונקציה f, אשר מוגדרת בתחום של כל המספרים החיוביים, מקיימת משוואה `2f(x) + f(1/x) = 3x` לכל x חיובי. מצא את הפונקציה.
  נושאים:

  אלגברה -> טכניקה אלגברית אלגברה -> משוואות

• שאלה 5

  נתונים שלושה מעגלים שקוטריהם 3, 4, 5. המעגלים הקטנים
  משיקים למעגל הגדול מבפנים, בנקודות נגדיות (ראה ציור). המעגלים
  הקטנים מחלקים את המעגל הגדול למספר חלקים. ניקח חלק אשר
  צורתו "משולש עקום", כלומר, הוא כלוא בין שלוש קשתות של מעגלים שונים. נסמן את
  שטחו ב-S, ואת שטח החיתוך של שני העיגולים הקטנים ב-T. חשב את `T/S`
  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  גאומטריה -> חשבון שטחים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים

• שאלה 6

  חשב את ערך הביטוי `(1/(1*100) + 1/(2*99) + 1/(3*98) + ... + 1/(49*52) + 1/(50*51))/(1/1+1/2+1/3+1/4+...+1/99+1/100)`

  נושאים:

  אלגברה -> סדרות אלגברה -> טכניקה אלגברית -> סכומים טלסקופיים

• שאלה 7

  נתון מצולע משוכלל. על כל צלע של המצולע בונים משולש שווה-צלעות מחוץ למצולע.
  כשמחברים את הקודקודים החדשים של כל המשולשים בזה אחר זה, מקבלים מצולע
  משוכלל חדש בעל אותו מספר צלעות כמו המצולע המקורי. כמה צלעות יש למצולע המקורי
  אם שטחו של המצולע החדש גדול פי שלושה משטח המצולע המקורי?
  נושאים:

  גאומטריה -> טריגונומטריה גאומטריה -> חשבון שטחים אלגברה -> משוואות גאומטריה -> גאומטריה במישור -> חשבון זוויות גאומטריה -> גאומטריה במרחב -> פאונים -> פאונים משוכללים

• שאלה 8

  מה צריך להיות הערך של k, על מנת שלגרף הפונקציה `y = x^2 + x + kx` יהיה ציר
  סימטריה?
  נושאים:

  אלגברה -> משוואות

• שאלה 9

  נתון מגדל בצורת תיבה. גובהו 61 מטרים, ובסיסו הוא ריבוע שצלעו 9 מטרים. על הגג,
  בנקודה שנמצאת במרחק של שני מטרים מהקיר הצפוני ושני מטרים מהקיר המערבי, שפכו
  מיץ. נמלה נמצאת בתחתית המגדל, בפינה הדרום מזרחית. לנמלה יש חוש ריח מעולה ולכן
  היא מרגישה איפה בדיוק נשפך המיץ. מהו המרחק המינימלי שהיא צריכה לעבור בשביל
  להגיע לנקודה הזאת? (הנמלה יכול לזחול על הקירות והגג.)
  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במרחב גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משפט פיתגורס

• שאלה 10

  יש כדורים משלושה צבעים: אדום, ירוק וכחול. מותר להחליף חמישה כדורים ירוקים
  בכדור אדום, או להחליף שלושה כדורים אדומים בכדור כחול, או להחליף שני כדורים כחולים
  בכדור ירוק. בהתחלה ישנם 5771 כדורים מכל צבע. מבצעים החלפות כל עוד ניתן. כמה
  כדורים מכל צבע יישארו בסוף?
  נושאים:

  אלגברה -> בעיות מילוליות אריתמטיקה -> חילוק עם שארית