Gillis Mathematical Olympiad, 2015-2016
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问题 1
尼娜和梅尔同时从他们的家出发，一起去拜访奶奶。从他们家到奶奶家的路线长 3 公里，沿途放置着长椅。
尼娜会在路上的每个长椅上坐下，吃一块饼干。她吃每块饼干的时间都是相同的整数分钟。梅尔也会停下来坐在每条长椅上吃一块饼干。
梅尔吃饼干的时间是尼娜的两倍。此外，已知尼娜的速度是每小时 3 公里，梅尔的速度是每小时 4 公里。
结果表明，梅尔和尼娜同时到达了奶奶家。
路上有多少条长椅？找出所有可能性并解释你的答案
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问题 2
给定一个圆锥（其对称轴位于中心，垂直于其底面），其高度为 6，底面是一个半径为 `sqrt2` 的圆。圆锥内接一个立方体——它位于圆锥的底面上，并且其所有上顶点都接触圆锥。求立方体的边长。解释你的答案。
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问题 3
给定一个正整数N，考虑以下过程：记`S(N)`为N的各位数字之和，取`S(N)`的各位数字之和。重复此操作直到得到一个一位数。称执行上述过程直到得到一位数的次数为N的“深度”。例如，49的深度为`S(49)=13 -> S(13)=4)2`，执行了两次操作（49的深度为2），而45的深度为1。
a) 证明对于任何数N，其深度都是有限的，也就是说，在过程的某个阶段总会得到一个一位数。
b) 记`x(n)`为深度为N的最小数（值最小的数）。求`x(5776)`除以6的余数。请说明你的答案！
c) 求`x(5776) - x(5708)`除以2016的余数。请说明你的答案！
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问题 4 - 圆与三点
黑板上画着一个圆，圆上有三个点，颜色如下（顺时针方向）：绿色、蓝色
和红色。 约拿单在玩以下游戏 – 在每个阶段，他可以执行以下步骤之一：
一) 选择两个颜色不同的相邻点，并在它们之间绘制一个颜色为这两种颜色之一的点
仅限于。
乙) 选择两个颜色相同的相邻点，并在它们之间绘制一个颜色任意的点。
C) 选择三个相邻的点，其中至少有两个颜色相同，然后删除中间的点。约拿单能否达到黑板上只剩下三个点，颜色如下（顺时针方向）：蓝色、绿色、红色？ 解释你的答案
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问题 5 - 斐波那契多项式
斐波那契数列定义为 `F_1 = F_2 = 1`，且对于所有整数 `n >= 3`，满足递推公式 `F_n = F_{n-1} + F_{n-2}`。给定自然数 `m,n >= 1`。求最小的次数 `d`，使得存在多项式 `f(x) = a_d x^d + a_{d-1} x^{d-1} + ... + a_1 x + a_0` 满足 `f(k) = F_{m+k}`，对于所有 `k = 0,1,...,n` 成立。请证明你的答案。