Tournament of Towns, 1983-1984, Fall, Practice Version, Grades 9-10

• 问题 1 - 樱桃和蓝莓

  `175` 公斤樱桃比 `125` 公斤蓝莓贵，但比 `126` 公斤蓝莓便宜。此外，已知每公斤樱桃的价格是整数，每公斤蓝莓的价格也是整数。

  证明 `80` 元不足以购买一公斤蓝莓和三公斤樱桃。

  С.Фумин

  主题：

  数论 算术 代数学 -> 不等式 代数学 -> 应用题

• 问题 2 - 五边形

  在凸五边形 `ABCDE` 中，已知： `AE=AD`, `AB=AC` 且 `angle CAD=angle ABE + angle AEB`。

  在三角形 `ABE` 中，作中线 `AM`。 证明： `AM` 的长度是线段 `CD` 长度的一半。

  主题：

  几何学 -> 平面几何学 -> 角度计算 几何学 -> 平面几何学 -> 三角形 -> 三角形全等 几何学 -> 平面几何学 -> 平面变换 -> 全等变换（等距变换） -> 旋转

• 问题 3 - 框架

  在一个给定的方格纸上有一个大小为 `NxxN` 的正方形。我们考虑其厚度为一个方格的框架。它由 `4*(N-1)` 个方格组成。

  你是否能将 `4*(N-1)` 个连续整数（不一定是正数）填入框架的方格中，使得满足以下条件：

  对于每个顶点都在框架上且边与原始正方形的对角线平行的矩形，其顶点上的数字之和等于一个常数。 这也包括“退化”的宽度为零的矩形，这些矩形与正方形的对角线重合 - 在这种情况下，只需将正方形的相对顶点的两个数字相加

  对于：

  a. `N=3`

  b. `N=4`

  c. `N=5`

  

  主题：

  算术 数论 -> 除法 -> 奇偶性 证明与示例 -> 构造示例/反例 代数学 -> 数列 -> 等差数列 组合数学 -> 案例分析/检查案例 -> 过程/程序

• 问题 4 - 数字的乘积

  对于自然数 `x`，记 `P(x)` 为 `x` 的各位数字的乘积，记 `S(x)` 为 `x` 的各位数字之和。

  方程有多少个解：

  `P(P(x))+P(S(x))+S(P(x))+S(S(x))=1984`

  主题：

  数论 代数学 -> 方程

• 问题 4

  移动一根火柴，使等式成立。

  

  注意：可能有多个解。

  主题：

  算术 谜题和画谜 -> 火柴棍谜题