תחרות הערים, תשמ"א, אביב, גרסה עיקרית, כיתות י"א-י"ב

• שאלה 1

  נגיד ששתי פירמידות משיקות זו לזו אם אין להן נקודות פנימיות משותפות והן נחתכות במצולע מישורי לא מנוון. האם ייתכן ש 8 פירמידות במרחב ישיקו כולם אחת לשנייה? 
  א. אנג'אנס 

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה גאומטריה -> גאומטריה במרחב -> פאונים

• שאלה 2

  המשחק מתבצע על מישור אינסופי. שחקן אחד מזיז את הזאב ושחקן אחר – K כבשים. לאחר מהלך של זאב אחת הכבשים עושה מהלך אחר כך שוב זאב וכך הלאה. במהלך אחד הזאב או הכבשה לא הולכים יותר ממטר אחד לכל צד. האם בכל מצב התחלתי הזאב יוכל לתפוס לפחות כבשה אחת? 

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית קומבינטוריקה -> אינווריאנטים גאומטריה -> גאומטריה במישור לוגיקה -> הגיון הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה בעיות מינימום ומקסימום

• שאלה 3

  הוכח כי כל מספר ממשי אפשר לרשום כסכום 9 מספרים שכל אחד מהם מורכב רק מספרות 0 ו7. 
  א. טורקוויץ' 

  נושאים:

  תורת המספרים אריתמטיקה הוכחה ודוגמה אלגברה -> סדרות

• שאלה 4

  ל- K חברים סיפרו באותו זמן K חדשות (לכל חבר חדשה אחת). הם מתחילים לטלפן זה לזה ולהתחלף בחדשות. כל שיחה נמשכת שעה אחת. תוך כמה זמן כל החברים יכולים לדעת את כל החדשות? התבונן במקרים: 
  א. (5 נקודות) K=64 
  ב. (10 נקודות) K=55 
  ג. (12 נקודות) K=100 
  א. אנג'אנס 

  נושאים:

  לוגיקה -> הגיון קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים בעיות מינימום ומקסימום

• שאלה 5

  על נייר משבצות אינסופי מסומנות 6 משבצות, כמו בציור. על כמה משבצות נמצאות אבנים. במהלך אחד מותר לקחת אבן אם אין לו אבן שכנה מלמעלה ומימינה אז מותר לזרוק את האבן ולשים 2 אבנים במקומות מעל האבן ומימינה. האם נוכל לזרוק ע"י הפעולה הזו את כל האבנים ממקומות המסומנים אם במצב ההתחלתי האבנים היו: 
  א. (8 נקודות) בכל המשבצות המסומנות. 
  ב. (8 נקודות) רק במשבצת המסומנת הכי תחתונה והכי שמאלית. 

  O 
  O O 
  O O O

  מ. קונצוויץ' 

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> אינווריאנטים קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> גאומטריה על נייר משבצות