Tournament of Towns, 1980-1981, Spring, Main Version, Grades 11-12

• 问题 1

  假设有两座金字塔彼此相切，如果它们没有共同的内部点，并且它们的交集是一个非退化的平面多边形。 是否有可能空间中的 8 座金字塔全部彼此相切？ 
  阿. 安吉安斯 

  主题：

  组合数学 -> 组合几何学 证明与示例 -> 构造示例/反例 几何学 -> 立体几何/空间几何 -> 多面体

• 问题 2

  游戏在一个无限的平面上进行。一个玩家移动狼，另一个玩家移动 K 只羊。狼走一步后，一只羊走一步，然后狼再走，以此类推。每一步，狼或羊最多只能向任何方向移动一米。在任何初始状态下，狼是否总能抓住至少一只羊？

  主题：

  组合数学 -> 组合几何学 组合数学 -> 不变量 几何学 -> 平面几何学 逻辑学 -> 推理/逻辑 证明与示例 -> 构造示例/反例 最小值和最大值问题/优化问题

• 问题 3

  证明每个实数都可以写成 9 个仅由数字 0 和 7 组成的数字之和。 
  A. 土耳其石' 

  主题：

  数论 算术 证明与示例 代数学 -> 数列

• 问题 4

  有 K 个朋友同时知道了 K 个消息（每个朋友一个消息）。他们开始互相打电话并交换消息。每次通话持续一小时。所有朋友需要多长时间才能知道所有消息？观察以下情况：
  a. (5 分) K=64 
  b. (10 分) K=55 
  c. (12 分) K=100 
  安吉斯 

  主题：

  逻辑学 -> 推理/逻辑 组合数学 -> 案例分析/检查案例 -> 过程/程序 组合数学 -> 案例分析/检查案例 -> 过程/程序 最小值和最大值问题/优化问题

• 问题 5

  在一个无限的方格纸上标记了 6 个方格，如图所示。一些方格上有石头。一次操作中，如果一个石头上方和右侧都没有相邻的石头，则可以移除该石头，并在其上方和右侧的位置放置 2 个石头。如果在初始状态下石头位于以下位置，我们是否可以通过此操作移除所有标记位置的石头：
  A. (8 分) 在所有标记的方格中。
  B. (8 分) 仅在最底部和最左侧标记的方格中。

  O 
  O O 
  O O O

  M. Kontsevich' 

  主题：

  组合数学 -> 不变量 组合数学 -> 组合几何学 -> 网格纸几何/格点几何