גאומטריה, גאומטריה במרחב, פאונים, פאונים משוכללים

פאונים משוכללים, הידועים גם כגופים אפלטוניים, הם פאונים שכל פאותיהם הן מצולעים משוכללים זהים, ומספר שווה של פאות נפגשות בכל קדקוד. שאלות בוחנות את תכונותיהם הייחודיות, סימטריות, פריסות וחישובים הקשורים לממדיהם.

• שאלה

  מצולע משוכלל בעל 4k צלעות מחולק למקביליות. הוכיחו שבין המקביליות האלו יש לפחות k מלבנים. מצאו את סכום שטחי כל המלבנים.

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור גאומטריה -> חשבון שטחים גאומטריה -> גאומטריה במרחב -> פאונים -> פאונים משוכללים

• שאלה

  נתון מצולע משוכלל. על כל צלע בונים משולש ישר זווית ושווה-שוקיים, כך שהצלע היא היתר של המשולש, וקודקוד הראש בפנים המצולע. מחברים את קודקודי הראש של כל המשולשים ומקבלים מצולע (משוכלל, בעל אותו מספר צלעות). כמה צלעות יש למצולע המקורי, אם שטחו של המצולע שהתקבל הוא חצי משטח המצולע המקורי?

  נושאים:

  גאומטריה -> חשבון שטחים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> חשבון זוויות גאומטריה -> גאומטריה במרחב -> פאונים -> פאונים משוכללים
  מקורות:
  • מבחני בחירה ל-IMO בישראל, תשע"א, שלב א שאלה 7

• שאלה

  נתון מצולע משוכלל. על כל צלע של המצולע בונים משולש שווה-צלעות מחוץ למצולע.
  כשמחברים את הקודקודים החדשים של כל המשולשים בזה אחר זה, מקבלים מצולע
  משוכלל חדש בעל אותו מספר צלעות כמו המצולע המקורי. כמה צלעות יש למצולע המקורי
  אם שטחו של המצולע החדש גדול פי שלושה משטח המצולע המקורי?
  נושאים:

  גאומטריה -> טריגונומטריה גאומטריה -> חשבון שטחים אלגברה -> משוואות גאומטריה -> גאומטריה במישור -> חשבון זוויות גאומטריה -> גאומטריה במרחב -> פאונים -> פאונים משוכללים
  מקורות:
  • מבחני בחירה ל-IMO בישראל, תשע"ב, שלב א שאלה 7

• המחומש והריבוע

  מעניין אותי כמה מקוראיי, מבין אלה שלא הקדישו תשומת לב רבה ליסודות הגיאומטריה, יוכלו לצייר מחומש משוכלל, או צורה בעלת חמש צלעות, אם יידרשו לעשות זאת באופן פתאומי. משושה משוכלל, או צורה בעלת שש צלעות, הוא די קל, כי כולם יודעים שכל מה שצריך לעשות הוא לתאר מעגל ואז, לקחת את הרדיוס כאורך אחת הצלעות, ולסמן את שש הנקודות סביב ההיקף. אבל מחומש הוא עניין אחר לגמרי. אז, מכיוון שהחידה שלי קשורה לחיתוך של מחומש משוכלל, אולי כדאי שאקודם כל אראה לקוראים הפחות מנוסים שלי איך יש לצייר צורה זו בצורה נכונה. תארו מעגל וציירו את שני הקווים H B ו-D G, בתרשים, דרך המרכז בזוויות ישרות. כעת מצאו את הנקודה A, באמצע בין C ו-B. לאחר מכן הניחו את חוד המצפן שלכם ב-A ועם המרחק A D תארו את הקשת החותכת את H B ב-E. לאחר מכן הניחו את חוד המצפן שלכם ב-D ועם המרחק D E תארו את הקשת החותכת את ההיקף ב-F. כעת, D F היא אחת הצלעות של המחומש שלכם, ועליכם פשוט לסמן את הצלעות האחרות סביב המעגל. די פשוט כשאתם יודעים איך, אבל אחרת קצת קשה. לאחר שיצרתם את המחומש שלכם, החידה היא לחתוך אותו למספר המועט ביותר של חלקים שיתאימו זה לזה וייצרו ריבוע מושלם.
  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור גאומטריה -> חשבון שטחים קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> חתכו צורה גאומטריה -> גאומטריה במרחב -> פאונים -> פאונים משוכללים
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 155

• הזבוב על האוקטהדרון

  "תראה," אמר הפרופסור לעמיתו, "אני צופה בזבוב הזה על האוקטהדרון, והוא מגביל את הליכותיו אך ורק לקצוות. מה יכולה להיות הסיבה שלו להימנע מהצדדים?"

  "אולי הוא מנסה לפתור איזושהי בעיית מסלול," הציע השני. "בהנחה שהוא מתחיל מנקודת העליונה, כמה מסלולים שונים יש שבהם הוא יכול ללכת על כל הקצוות, מבלי ללכת פעמיים לאורך אותו קצה בכל מסלול?"

   

  הבעיה הייתה קשה יותר ממה שהם ציפו, ולאחר שעבדו עליה ברגעי הפנאי במשך מספר ימים התוצאות שלהם לא הסכימו — למעשה, שניהם טעו. אם הקורא מופתע מכישלונם, שינסה בעצמו את החידה הקטנה. אסביר רק שהאוקטהדרון הוא אחד מחמשת הגופים הרגילים, או האפלטוניים, והוא תחום תחת שמונה משולשים שווים ושווי צלעות. אם תגזור את שני חלקי הקרטון בצורה המוצגת בשולי האיור, תגזור חצי דרך לאורך הקווים המקווקווים ואז תכופף אותם ותחבר אותם, תקבל אוקטהדרון מושלם. בכל מסלול על פני כל הקצוות יתגלה שהזבוב חייב להסתיים בנקודת המוצא בראש.

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית קומבינטוריקה -> תורת הגרפים גאומטריה -> גאומטריה במרחב -> פאונים -> פאונים משוכללים
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 245

• הפאזל של האיקוסהדרון

  האיקוסהדרון הוא עוד אחד מחמשת הגופים הרגילים, או האפלטוניים, שכל צדדיהם, זוויותיהם ומישוריהם דומים ושווים. הוא תחום על ידי עשרים משולשים שווי צלעות דומים. אם תגזרו חתיכת קרטון בצורה המוצגת בדיאגרמה הקטנה יותר, ותחתכו חצי עובי לאורך הקווים המקווקווים, היא תתקפל ותיצור איקוסהדרון מושלם.

  ובכן, גוף אפלטוני לא בהכרח מציין גוף שמימי; אבל זה יתאים למטרת הפאזל שלנו אם נניח שיש כוכב לכת ראוי למגורים בצורה הזו. נניח גם שבשל שפע מים, היבשה היחידה נמצאת לאורך הקצוות, ושלתושבים אין ידע בניווט. אם כל אחד מהקצוות האלה באורך `10,000` מיילים, ומטייל בודד ממוקם בקוטב הצפוני (הנקודה הגבוהה ביותר המוצגת), כמה רחוק הוא יצטרך לנסוע לפני שהוא יבקר בכל חלק ראוי למגורים בכוכב הלכת — כלומר, יחצה כל אחד מהקצוות?

  

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית קומבינטוריקה -> תורת הגרפים גאומטריה -> גאומטריה במרחב -> פאונים -> פאונים משוכללים
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 246