מבחני בחירה ל-IMO בישראל, תשע"א, שלב א

• שאלה 1

  עשרים אנשים עומדים בטור, בזה אחר זה. כל אחד מהם הוא או שקרן או דובר אמת (השקרנים תמיד משקרים, ודוברי האמת תמיד אומרים את האמת). כל אחד מהאנשים אומר שיותר שקרנים עומדים לפניו מאשר מאחוריו. כמה מבין העשרים הם דוברי אמת?

  נושאים:

  לוגיקה -> הגיון קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים לוגיקה -> דוברי אמת ושקרנים

• שאלה 2

  בשעה 12:00 מחוגי השעון מתלכדים. כמה זמן יעבור עד שהמחוגים יהיו מאונכים זה לזה בפעם הראשונה? (המחוגים נעים ברציפות, במהירויות קבועות)

  נושאים:

  אלגברה -> משוואות אלגברה -> בעיות מילוליות -> בעיות תנועה גאומטריה -> גאומטריה במישור -> חשבון זוויות

• שאלה 3

  נניח ש- `x,y,z` מספרים חיוביים שסכומם 1. מהו הערך הקטן ביותר שיכול לקבל המספר הגדול מבין `x/5, y/7, z/11`?

  נושאים:

  אלגברה -> אי שוויונים בעיות מינימום ומקסימום

• שאלה 4

  חלק את הצורה שבציור לשלושה חלקים שווים בשטחם ובצורתם.
  

  נושאים:

  גאומטריה -> חשבון שטחים קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> חתכו צורה

• שאלה 5

  בקרקעיתו של אגם יש מעיינות המזרימים אליו מים בקצב קבוע. עדר של 183 פילים יכול לרוקן את האגם ביום אחד. עדר של 37 פילים יכול לרוקן אותו בחמישה ימים. כמה זמן ייקח לפיל בודד לרוקן את האגם?

  נושאים:

  אלגברה -> משוואות אלגברה -> בעיות מילוליות

• שאלה 6

  המורה חילקה (עם שארית) את מספר התלמידים בשכבה ב-2, ב-3, ב-4, ב-5 וב-9. כשסיכמה את השאריות, קיבלה 18. מצא את מספר התלמידים בשכבה, אם ידוע שהמספר קטן מ-300.

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה אלגברה -> בעיות מילוליות קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים אריתמטיקה -> חילוק עם שארית

• שאלה 7

  נתון מצולע משוכלל. על כל צלע בונים משולש ישר זווית ושווה-שוקיים, כך שהצלע היא היתר של המשולש, וקודקוד הראש בפנים המצולע. מחברים את קודקודי הראש של כל המשולשים ומקבלים מצולע (משוכלל, בעל אותו מספר צלעות). כמה צלעות יש למצולע המקורי, אם שטחו של המצולע שהתקבל הוא חצי משטח המצולע המקורי?

  נושאים:

  גאומטריה -> חשבון שטחים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> חשבון זוויות גאומטריה -> גאומטריה במרחב -> פאונים -> פאונים משוכללים

• שאלה 8

  מצא את כל הזוגות x ,y של מספרים שלמים, המקיימים את המשוואה `x + y = x^2 + xy + y^2`

  נושאים:

  אלגברה -> טכניקה אלגברית קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים אלגברה -> משוואות -> משוואות דיופנטיות

• שאלה 9

  נתון טרפז שווה שוקיים, שאורך השוק שלו a, ואורך האלכסון שלו b, כמו בציור. מצא את הערך הגדול ביותר והקטן ביותר שיכולה לקבל מכפלת הבסיסים (התשובה תלויה ב-`a` וב-`b`).
  

  נושאים:

  גאומטריה -> חשבון שטחים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים אלגברה גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משפט פיתגורס

• שאלה 10

  נתון לוח בגודל של 6 על 6 מרצפות ריבועיות. מרצפים אותו ב-36 מרצפות, שעל כל אחת מהן מצויירים שני רבעי מעגל המחברים את האמצעים של צלעות צמודות, כמו בציור. מהו המספר הגדול ביותר של רבעי מעגל שיכולים להתחבר לקו רציף אחד? צייר דוגמא המכילה קו כזה.
  

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> גאומטריה על נייר משבצות