תורת המספרים, מספרים משולשיים

מספרים משולשיים הם מספרים שניתן לייצגם באמצעות מערך משולש של נקודות. המספר המשולשי ה-`n`-י הוא סכום `n` המספרים הטבעיים הראשונים, `T_n = n(n+1)/2`. שאלות בוחנות את תכונותיהם, תבניותיהם ויחסיהם למספרים מצולעים אחרים.

  • שאלה

    `120` כדורים זהים מונחים בצורה של פירמידה משולשת. כמה שכבות יש בפירמידה?

    הערה: מדובר בפירמידה, שהיא צורה תלת מימדית, ולא במשולש במישור.

  • מחקר בחיסכון

    מספרים מסוימים נקראים משולשים, משום שאם הם מייצגים סופרים או מטבעות, ניתן לסדר אותם על השולחן בצורה של משולשים. המספר `1` תמיד נחשב למשולש, בדיוק כפי ש-`1` הוא מספר ריבועי ומספר מעוקב. הניחו מונה אחד על השולחן — זהו המספר המשולשי הראשון. כעת הניחו שני מונים נוספים מתחתיו, ויש לכם משולש של שלושה מונים; לכן `3` הוא משולשי. לאחר מכן הניחו שורה של שלושה מונים נוספים, ויש לכם משולש של שישה מונים; לכן `6` הוא משולשי. אנו רואים שכל שורת מונים שאנו מוסיפים, המכילה מונה אחד יותר מהשורה שמעליה, יוצרת משולש גדול יותר.

    כעת, מחצית מסכום של כל מספר והריבוע שלו היא תמיד מספר משולשי. כך, מחצית מ-`2` + `2``2` = `3`; מחצית מ-`3` + `3``2` = `6`; מחצית מ-`4 + 4``2` = `10`; מחצית מ-`5` + `5``2`= `15`; וכן הלאה. אז אם אנו רוצים ליצור משולש עם `8` מונים בכל צד, נצטרך מחצית מ-`8 + 8``2`, או `36` מונים. זוהי תכונה קטנה ויפה של מספרים. לפני שאמשיך הלאה, אני אומר כאן שאם הקורא יעיין ב"בעיית הבנאי" (מס' `135`), הוא יזכור שסכום כל מספר של קוביות עוקבות המתחילות ב-`1` הוא תמיד ריבוע, ואלה יוצרים את הסדרה `1``2`, `3``2`, `6``2`, `10``2` וכו'. כעת יובן כאשר אני אומר שאחד המפתחות לחידה היה העובדה שאלה הם תמיד הריבועים של מספרים משולשים—כלומר, הריבועים של `1, 3, 6, 10, 15, 21, 28` וכו', כל אחד מהמספרים האלה, כפי שראינו, ייצור משולש.

    כל מספר שלם הוא או משולשי, או סכום של שני מספרים משולשים, או סכום של שלושה מספרים משולשים. כלומר, אם ניקח כל מספר שנבחר, תמיד נוכל ליצור משולש אחד, שניים או שלושה משולשים איתם. המספר `1` באופן ברור, ובאופן ייחודי, ייצור רק משולש אחד; מספרים מסוימים ייצרו רק שני משולשים (כמו `2, 4, 11` וכו'); מספרים מסוימים ייצרו רק שלושה משולשים (כמו `5, 8, 14` וכו'). אז, שוב, מספרים מסוימים ייצרו גם משולש אחד וגם שניים (כמו `6`), אחרים גם משולש אחד וגם שלושה (כמו `3` ו-`10`), אחרים גם שניים וגם שלושה משולשים (כמו `7` ו-`9`), בעוד שמספרים מסוימים (כמו `21`) ייצרו משולש אחד, שניים או שלושה, כרצוננו. כעת לחידה קטנה במספרים משולשים.

    סנדי מקאליסטר, מאברדין, נהג במשק בית קפדני, והיה להוט לאמן את אשתו הטובה בהרגלי החיסכון שלו. הוא אמר לה בערב השנה החדשה האחרון שכאשר היא תחסוך כל כך הרבה מטבעות זהב שהיא תוכל לפרוס את כולם על השולחן כדי ליצור ריבוע מושלם, או משולש מושלם, או שני משולשים, או שלושה משולשים, בדיוק כפי שהוא עשוי לבחור לבקש, הוא יוסיף חמישה פאונד לאוצר שלה. עד מהרה היא הלכה לבעלה עם שקית קטנה של £`36` במטבעות זהב ודרשה את הפרס שלה. יתברר ששלושים וששת המטבעות ייצרו ריבוע (עם צלע `6`), שהם ייצרו משולש בודד (עם צלע `8`), שהם ייצרו שני משולשים (עם צלעות `5` ו-`6`), ושהם ייצרו שלושה משולשים (עם צלעות `3, 5` ו-`5`). בכל אחד מארבעת המקרים כל שלושים וששת המטבעות משמשים, כנדרש, ולכן סנדי העניק לאשתו את המתנה שהובטחה כמו איש ישר.

    הסקוטי לאחר מכן התחייב להאריך את הבטחתו לחמש שנים נוספות, כך שאם בשנה הבאה מספר מטבעות הזהב המוגדל שהיא חסכה יוכל להיפרס בארבע הדרכים השונות, היא תקבל מתנה שנייה; אם היא תצליח בשנה שלאחר מכן היא תקבל מתנה שלישית, וכן הלאה עד שהיא תרוויח שש מתנות בסך הכל. עכשיו, כמה מטבעות זהב היא צריכה לשים ביחד לפני שהיא תוכל לזכות במתנה השישית?

    מה שאתם צריכים לעשות הוא למצוא חמישה מספרים, הקטנים ביותר האפשריים, הגבוהים מ-`36`, שניתן להציג בארבע הדרכים—ליצור ריבוע, ליצור משולש, ליצור שני משולשים, וליצור שלושה משולשים. הגבוה מבין חמשת המספרים שלכם יהיה התשובה שלכם.

    מקורות:

  • הדילמה של אנשי הארטילריה

    "יש לערום את כל כדורי התותח בפירמידות מרובעות," הייתה הפקודה שהוצאה לגדוד. כך נעשה. ואז הגיעה הפקודה הנוספת, "כל הפירמידות צריכות להכיל מספר ריבועי של כדורים." ואז החלו הצרות. "אי אפשר לעשות את זה," אמר המג'ור. "תסתכלו על הפירמידה הזו, למשל; יש שישה עשר כדורים בבסיס, אחר כך תשעה, אחר כך ארבעה, ואז אחד בקצה, מה שנותן שלושים כדורים בסך הכל. אבל חייבים להיות עוד שישה כדורים, או חמישה פחות, כדי ליצור מספר ריבועי." "חייבים לעשות את זה," התעקש הגנרל. "כל מה שאתם צריכים לעשות הוא לשים את המספר הנכון של כדורים בפירמידות שלכם." "הבנתי!" אמר סגן, הגאון המתמטי של הגדוד. "הניחו את הכדורים בנפרד." "שטויות!" קרא הגנרל. "אתה לא יכול לערם כדור אחד לפירמידה!" האם באמת אפשר לציית לשתי הפקודות? מקורות:

  • ספירת מלבנים

    האם תוכל לומר נכון כמה ריבועים ומלבנים אחרים מכילה לוח השחמט? במילים אחרות, בכמה דרכים שונות אפשר לציין ריבוע או מלבן אחר התחום על ידי קווים המפרידים בין ריבועי הלוח? מקורות: