גאומטריה, חשבון שטחים

נושא זה מתמקד בשיטות לקביעת גודלו של משטח או אזור דו-ממדי. שאלות כוללות חישוב שטחים של צורות גאומטריות שונות כמו משולשים, מרובעים, עיגולים וצורות מורכבות יותר, ולעיתים קרובות דורשות יישום של נוסחאות ספציפיות.

• עבודת טלאים ממשי

  חברות המשפחה ממשפחת וילקינסון הכינו שמיכת טלאים פשוטה, כמתנה קטנה לחג המולד, המורכבת כולה מחתיכות מרובעות באותו גודל, כפי שמוצג באיור. היו חסרות רק ארבע פינות כדי להשלים אותה. מישהו הצביע בפניהן שאם יפרקו את צלב יווני באמצע ואז יחתכו את התפרים לאורך החיבורים הכהים, ארבעת החלקים כולם באותו גודל וצורה יתאימו יחד וייצרו ריבוע. הקורא יודע, מהפתרון באיור `39`, שזה נעשה די בקלות. אבל ג'ורג' וילקינסון הציע להן לפתע את החידה הזו. הוא אמר, "במקום לבחור את הצלב כולו, וליצור את הריבוע מארבעה חלקים שווים, האם תוכלו לחתוך ריבוע שלם וארבעה חלקים שווים שייצרו צלב יווני מושלם?" הפאזל הוא, כמובן, עכשיו די קל.
  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור גאומטריה -> חשבון שטחים קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> חתכו צורה
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 142

• הצלב והמשולש

  חתוך צלב יווני לשישה חלקים שייצרו משולש שווה צלעות. זוהי בעיה קשה נוספת, ואציין כאן שפתרון מעשי בלתי אפשרי ללא ידע מוקדם בשיטה שלי להמרת משולש שווה צלעות לריבוע (ראה מס' `26`, "חידות קנטרברי").
  נושאים:

  גאומטריה -> חשבון שטחים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> חתכו צורה
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 144

• חידת חיתוך קלה

   

  ראשית, גזרו פיסת נייר או קרטון בצורה המוצגת באיור. ניתן לראות מיד שהפרופורציות הן פשוט אלו של ריבוע המחובר למחצית ריבוע דומה אחר, המחולק באלכסון. החידה היא לחתוך אותו לארבעה חלקים, כולם באותו גודל וצורה בדיוק.

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור גאומטריה -> חשבון שטחים קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> חתכו צורה
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 146

• חידת הלחמנייה

  שלושת העיגולים מייצגים שלוש לחמניות, ונדרש פשוט להראות כיצד ניתן לחלק אותן באופן שווה בין ארבעה בנים. יש להתייחס ללחמניות כבעלות עובי שווה לכל אורכן ועובי שווה זו לזו. כמובן, יש לחתוך אותן למספר החלקים המועט ביותר האפשרי. כדי לפשט זאת, אציין את העובדה המפתיעה למדי שדי בחמישה חלקים בלבד, ומכך ניתן יהיה לראות שנער אחד מקבל את חלקו בשני חלקים ושלושת האחרים מקבלים את חלקם בחלק אחד. אני מודע לכך שהצהרה זו "מסגירה" את החידה, אך היא לא אמורה לפגוע בעניינם של אלה שאוהבים לגלות את "הסיבה לכך".
  נושאים:

  גאומטריה -> חשבון שטחים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משפט פיתגורס קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> חתכו צורה
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 148

• חיתוך זוית

   

  הצורה שמבלבלת את הנגר באיור מייצגת זווית. ניתן לראות שהמידות שלה הן של ריבוע שהוסר ממנו רבע. החידה היא לחתוך אותה לחמישה חלקים שיתאימו זה לזה וייצרו ריבוע מושלם. אני מציג ניסיון, שפורסם באמריקה, לבצע את המשימה בארבעה חלקים, המבוסס על מה שידוע כ"עיקרון הצעד", אבל זו טעות.  

  נאמר לנו תחילה לחתוך את החלקים `1` ו-`2` ולארוז אותם בחלל המשולש המסומן על ידי הקו המקווקו, וכך ליצור מלבן.

  עד כאן טוב ויפה. עכשיו, אנו מונחים ליישם את עקרון הצעד הישן, כפי שמוצג, ועל ידי הזזת החלק `4` צעד אחד למטה, ליצור את הריבוע הנדרש. אבל, לצערי, זה לא מייצר ריבוע: רק מלבן. נקרא לשלושת הצדדים הארוכים של הזווית `84` אינץ' כל אחד. אז, לפני חיתוך הצעדים, המלבן שלנו בשלושה חלקים יהיה `84`×`63`. הצעדים צריכים להיות `10`½ אינץ' בגובה ו-`12` אינץ' ברוחב. לכן, על ידי הזזת צעד אחד למטה אנו מקטינים ב-`12` אינץ' את הצד `84` אינץ' ומגדילים ב-`10`½ אינץ' את הצד `63` אינץ'. לכן המלבן הסופי שלנו חייב להיות `72` אינץ' × `73`½ אינץ', מה שבהחלט אינו ריבוע! העובדה היא שניתן ליישם את עקרון הצעד רק על מלבנים עם צלעות באורכים יחסיים מסוימים. לדוגמה, אם הצד הקצר יותר במקרה זה היה `61` `5/7` (במקום `63`), אז שיטת הצעד תתאים. כי אז הצעדים יהיו `10` `2/7` אינץ' בגובה ו-`12` אינץ' ברוחב. שימו לב ש-`61` `5/7` × `84`= הריבוע של `72`. נכון לעכשיו לא נמצא פתרון בארבעה חלקים, ואני לא מאמין שאפשר למצוא כזה.

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור גאומטריה -> חשבון שטחים קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> חתכו צורה
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 150

• הבעיה של הנגר

  לעיתים קרובות הזדמן לי להעיר על התועלת המעשית של חידות, הנובעות מיישום לענייני היומיום של הטריקים הקטנים וה-"קמטים" שאנו לומדים תוך כדי פתרון בעיות שעשוע. הנגר, באיור, רוצה לחתוך את חתיכת העץ למספר החלקים המינימלי האפשרי כדי ליצור משטח שולחן מרובע, מבלי לבזבז חומר. איך עליו לגשת לעבודה? כמה חלקים תצטרכו?
  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור גאומטריה -> חשבון שטחים קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> חתכו צורה
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 151

• בעיה נוספת של נגר

  לנגר היו שני חתיכות עץ בצורות ובפרופורציות יחסיות המוצגות בדיאגרמה. הוא רצה לחתוך אותן למספר קטן ככל האפשר של חלקים כך שניתן יהיה לחבר אותם יחד, ללא בזבוז, וליצור משטח שולחן מרובע לחלוטין. איך הוא היה צריך לעשות את זה? אין צורך לתת מידות, כי אם החלק הקטן יותר (שהוא חצי ריבוע) יהיה קצת גדול מדי או קטן מדי, זה לא ישפיע על שיטת הפתרון.
  נושאים:

  גאומטריה -> חשבון שטחים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משפט פיתגורס קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> חתכו צורה
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 152

• פאזל גזירה

  הנה חידה קטנה בגזירה. אני לוקח רצועת נייר, בגודל חמישה אינץ' על אינץ' אחד, ובאמצעות חיתוך לחמישה חלקים, החלקים מתאימים יחד ויוצרים ריבוע, כפי שמוצג באיור. עכשיו, זהו פאזל די מעניין לגלות איך אנחנו יכולים לעשות זאת רק בארבעה חלקים.
  נושאים:

  גאומטריה -> חשבון שטחים קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> חתכו צורה
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 153

• המחומש והריבוע

  מעניין אותי כמה מקוראיי, מבין אלה שלא הקדישו תשומת לב רבה ליסודות הגיאומטריה, יוכלו לצייר מחומש משוכלל, או צורה בעלת חמש צלעות, אם יידרשו לעשות זאת באופן פתאומי. משושה משוכלל, או צורה בעלת שש צלעות, הוא די קל, כי כולם יודעים שכל מה שצריך לעשות הוא לתאר מעגל ואז, לקחת את הרדיוס כאורך אחת הצלעות, ולסמן את שש הנקודות סביב ההיקף. אבל מחומש הוא עניין אחר לגמרי. אז, מכיוון שהחידה שלי קשורה לחיתוך של מחומש משוכלל, אולי כדאי שאקודם כל אראה לקוראים הפחות מנוסים שלי איך יש לצייר צורה זו בצורה נכונה. תארו מעגל וציירו את שני הקווים H B ו-D G, בתרשים, דרך המרכז בזוויות ישרות. כעת מצאו את הנקודה A, באמצע בין C ו-B. לאחר מכן הניחו את חוד המצפן שלכם ב-A ועם המרחק A D תארו את הקשת החותכת את H B ב-E. לאחר מכן הניחו את חוד המצפן שלכם ב-D ועם המרחק D E תארו את הקשת החותכת את ההיקף ב-F. כעת, D F היא אחת הצלעות של המחומש שלכם, ועליכם פשוט לסמן את הצלעות האחרות סביב המעגל. די פשוט כשאתם יודעים איך, אבל אחרת קצת קשה. לאחר שיצרתם את המחומש שלכם, החידה היא לחתוך אותו למספר המועט ביותר של חלקים שיתאימו זה לזה וייצרו ריבוע מושלם.
  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור גאומטריה -> חשבון שטחים קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> חתכו צורה גאומטריה -> גאומטריה במרחב -> פאונים -> פאונים משוכללים
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 155

• המונד הגדול

   

  הנה סמל בעל עתיקות עצומה הראוי לתשומת לב. הוא מוטבע על נס קוריאה ועל דגל הסוחר שלה, ואומץ כסימן מסחרי על ידי חברת הרכבות Northern Pacific, אם כי מעטים מודעים לכך שמדובר במונד הגדול, כפי שמוצג בסקיצה למטה. סימן זה עבור הסיני הוא כמו הצלב עבור הנוצרי. זהו סימן האלוהות והנצח, בעוד שני החלקים שאליהם מחולק המעגל נקראים יין ויאנג—הכוחות הזכריים והנקביים של הטבע. סופר בנושא לפני יותר משלושת אלפים שנה דיווח כי אמר בהתייחסו אליו: "הבלתי מוגבל מייצר את הקיצוניות הגדולה. הקיצוניות הגדולה מייצרת את שני העקרונות. שני העקרונות מייצרים את ארבעת הרבעים, ומארבעת הרבעים אנו מפתחים את הריבוע של שמונת הדיאגרמות של פואה-הי." אני מקווה שהקוראים לא יבקשו ממני להסביר זאת, כי אין לי מושג קלוש מה זה אומר. עם זאת, אני משוכנע שבמשך עידנים לסמל היו משמעויות נסתרות וכנראה מתמטיות עבור הסטודנט האזוטרי.

  אציג את המונד בצורתו היסודית. הנה שלוש שאלות קלות בנוגע לסמל הגדול הזה:—

  (I.) למי יש שטח גדול יותר, למעגל הפנימי המכיל את היין והיאנג, או לטבעת החיצונית?

  (II.) חלקו את היין והיאנג לארבעה חלקים באותו גודל ובאותה צורה על ידי חתך אחד.

  (III.) חלקו את היין והיאנג לארבעה חלקים באותו גודל, אך בצורה שונה, על ידי חתך ישר אחד.

  נושאים:

  גאומטריה -> חשבון שטחים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> חתכו צורה
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 158