גאומטריה, חשבון שטחים

נושא זה מתמקד בשיטות לקביעת גודלו של משטח או אזור דו-ממדי. שאלות כוללות חישוב שטחים של צורות גאומטריות שונות כמו משולשים, מרובעים, עיגולים וצורות מורכבות יותר, ולעיתים קרובות דורשות יישום של נוסחאות ספציפיות.

  • הדגל של סנט ג'ורג'

    במהלך חגיגה של הפסטיבל הלאומי של יום סנט ג'ורג', התבוננתי בדגל המוכר של הפטרון של ארצנו. כולנו מכירים את הצלב האדום על רקע לבן, כפי שמוצג באיור שלנו. זהו הדגל של סנט ג'ורג'. הדגל של סנט אנדרו (סקוטלנד) הוא "הצלב של סנט אנדרו" לבן על רקע כחול. הדגל של סנט פטריק (אירלנד) הוא צלב דומה באדום על רקע לבן. שלושתם מאוחדים לאחד כדי ליצור את היוניון ג'ק שלנו.

    עכשיו, בהתבוננות בדגל של סנט ג'ורג', עלתה בדעתי השאלה הבאה שיכולה להוות חידה קטנה אך נחמדה. נניח שהדגל מודד ארבע רגליים על שלוש רגליים, כמה רחבה צריכה להיות זרוע הצלב אם נדרש להשתמש בדיוק באותה כמות של בד אדום ולבן?

    מקורות:

  • בעיית הכדור

     

    יום אחד, סתת היה עסוק בחיתוך כדור עגול לצורך קישוט ארכיטקטוני, כשנער חכם הגיע למקום.

    "תראה," אמר הסתת, "נראה שאתה בחור פיקח, תוכל להגיד לי את זה? אם אניח את הכדור הזה על הקרקע הישרה, כמה כדורים אחרים באותו גודל אוכל להניח סביבו (גם על הקרקע) כך שכל כדור ייגע בכדור הזה?"

    הילד מיד נתן את התשובה הנכונה, ואז הפנה לסתת את השאלה הקטנה הזו:—

    "אם שטח הפנים של הכדור הזה הכיל בדיוק אותו מספר של רגל רבוע כמו שנפחו הכיל רגל מעוקב, מה יהיה אורך הקוטר שלו?"

    הסתת לא הצליח לתת תשובה. האם הייתם יכולים לענות נכון לשאלות של הסתת והילד?

    מקורות:

  • אחוזות יורקשייר

     

    ביקרתי באחת הערים הגדולות של יורקשייר. בדרכי לתחנת הרכבת ביום עזיבתי, אדם דחף לי עלון, לקחתי אותו לקרון הרכבת וקראתי אותו בשעות הפנאי שלי. הוא הודיע לי ששלוש אחוזות שכנות ביורקשייר מוצעות למכירה. כל אחוזה הייתה בצורת ריבוע, והן הצטרפו זו לזו בפינותיהן, בדיוק כפי שמוצג בתרשים. אחוזה A מכילה בדיוק `370` אקרים, B מכילה `116` אקרים, ו-C `74` אקרים.

    כעת, פיסת הקרקע המשולשת הקטנה התחומה על ידי שלוש האחוזות הריבועיות לא הוצעה למכירה, ומסיבה לא מיוחדת, התעוררתי לסקרנות לגבי שטח החלקה הזו. כמה אקרים היא הכילה?

    מקורות:

  • האחוזה של החוואי וורצל

     

    אציג כעת בעיית שטח נוספת. ההדגמה של התשובה שאציג, אני חושב, תימצא גם מעניינת וגם קלה להבנה.

    החוואי וורצל היה הבעלים של שלושה שדות מרובעים כפי שמוצג בתוכנית המצורפת, המכילים בהתאמה `18, 20`, ו-`26` אקרים. כדי להקיף את רכושו בגדר טבעת, הוא קנה את ארבעת השדות המשולשים המפרידים. החידה היא לגלות מה היה אז השטח הכולל של האחוזה שלו.

    מקורות:

  • מִכְלָא הַצֹּאן

    זהו עובדה מוזרה שהתשובות שניתנות תמיד לכמה מהחידות הידועות ביותר המופיעות בכל ספר קטן של שעשועי בית שפורסם בחמישים או מאה השנים האחרונות הן או בלתי מספקות לחלוטין או שגויות בבירור. עם זאת, נראה שאף אחד לא מבחין בפגמים שלהן. הנה דוגמה: - לחקלאי היה מכלאה העשויה מחמישים גדרות, המסוגלת להכיל רק מאה כבשים. נניח שהוא רצה להגדיל אותו מספיק כדי להכיל כפול ממספר זה, כמה גדרות נוספות הוא צריך? מקורות:

  • חומות הגן

     

    יזם נדל"ן ספקולטיבי מחזיק בשדה עגול, עליו הקים ארבעה קוטג'ים, כפי שמוצג באיור. השדה מוקף בחומה מלבנים, והבעלים התחייב להקים עוד שלושה קירות לבנים, כך שהשכנים לא יוכלו להציץ אחד לשני, אך ארבעת הדיירים מתעקשים שלא תהיה אפליה, ושלכל אחד יהיה בדיוק אותו אורך שטח קיר לעצי הפרי שלו. החידה היא להראות כיצד ניתן לבנות את שלושת הקירות כך שלכל דייר יהיה אותו שטח אדמה, ובדיוק אותו אורך של קיר.

    כמובן, כל גן חייב להיות סגור לחלוטין על ידי קירותיו, וחייב להיות אפשרי להוכיח שלכל גן יש בדיוק אותו אורך של קיר. אם החידה נפתרת כראוי, אין צורך במספרים.

    מקורות:

  • הגן של ליידי בלינדה

    ליידי בלינדה היא גננת נלהבת. באיור היא מתוארת כשהיא שקועה בפתרון בעיה קטנה ומהנה שאותה אספר. אחד הגנים שלה הוא בצורת מלבן, מוקף בגדר חיה גבוהה של צמח ההולי, והיא הופכת אותו לגינת ורדים לטיפוח כמה מזני הורדים המשובחים ביותר שלה. היא רוצה להקדיש בדיוק מחצית משטח הגן לפרחים, בערוגה גדולה אחת, ואת המחצית השנייה לשביל המקיף אותו מכל צדדיו ברוחב שווה. גן כזה מוצג בתרשים בתחתית התמונה. כיצד עליה לסמן את הגן בתנאים פשוטים אלה? יש לה רק סרט מדידה, באורך הגן, כדי לעשות זאת, ומכיוון שגדר ההולי עבה וצפופה מאוד, עליה לבצע את כל המדידות בפנים. ליידי בלינדה לא ידעה את המידות המדויקות של הגן, ומכיוון שלא היה צורך שתדע, גם אני לא מציין מידות. זו משימה פשוטה למדי, לא משנה מה גודל או פרופורציות הגן. עם זאת, כמה גננות היו יודעות בדיוק כיצד להמשיך? סרט המדידה יכול להיות פשוט למדי - כלומר, אין צורך שיהיה מדד מדורג. מקורות:

  • העז הקשורה

    הנה בעיה קטנה שכל אחד צריך לדעת איך לפתור. העז ממוקמת באחו בשטח של חצי אקר, אשר צורתו משולש שווה צלעות. היא קשורה לעמוד בפינה אחת של השדה. מה צריך להיות אורך החבל (באינץ' הקרוב ביותר) כדי שהעז תוכל לאכול רק חצי מהדשא בשדה? ההנחה היא שהעז יכולה לאכול עד סוף החבל. מקורות:

  • חידה על עפיפון

    בעודי מלווה את ידידי, פרופסור הייפלייט, בתחרות הטסת עפיפונים מדעית בגבעות הדרומיות של סאסקס, נקלעתי לחישוב קטן שאמור לעניין את קוראיי. הפרופסור פרש את החוט שאליו היה מחובר העפיפון שלו מכננת שעליה הוא גולגל בצורה כדורית לחלוטין. כדור חוט זה היה בדיוק שני רגל בקוטר, ולחוט היה קוטר של מאיות אינץ'. מה היה אורך החוט?

    עכשיו, שאלה קטנה ופשוטה כזו שכולם יכולים להבין לחלוטין תגרום לרבים להתקשות לענות בכל דרך שהיא. בואו נראה אם, מבלי להיכנס לחישובים מתמטיים מעמיקים כלשהם, נוכל לקבל את התשובה בערך - נניח, בטווח של מייל אחד ממה שנכון! נניח שכאשר החוט מגולגל כולו הכדור מוצק לחלוטין לכל אורכו, ואין צורך להתחשב בציר שעובר דרכו. עם הפשטה זו, אני תוהה כמה קוראים יכולים לציין אפילו בטווח של מייל אחד מהתשובה הנכונה את אורך החוט הזה.

    מקורות:

  • חידת גפרורים חדשה

    באיור מוצגים שמונה-עשר גפרורים המסודרים כך שהם תוחמים שני שטחים, כאשר אחד גדול פי שניים מהשני. האם תוכלו לסדר אותם מחדש (`1`) כך שיתחמו שני שטחים מרובעים, כאשר אחד גדול בדיוק פי שלושה מהשני, ו- (`2`) כך שיתחמו שני שטחים מחומשים, כאשר אחד גדול בדיוק פי שלושה מהשני? יש להשתמש בכל שמונה-עשר הגפרורים בצורה הוגנת בכל מקרה; שני השטחים חייבים להיות מופרדים לחלוטין, ולא צריכים להיות קצוות רופפים או גפרורים כפולים. מקורות: