几何学, 立体几何/空间几何, 多面体

多面体是其面为多边形的三维几何体。本主题涵盖它们的属性，例如面、边和顶点的数量，以及像欧拉公式（`V-E+F=2`）这样的关系。问题可能涉及识别多面体的类型和分析它们的结构。

• 问题

  假设有两座金字塔彼此相切，如果它们没有共同的内部点，并且它们的交集是一个非退化的平面多边形。 是否有可能空间中的 8 座金字塔全部彼此相切？ 
  阿. 安吉安斯 

  主题：

  组合数学 -> 组合几何学 证明与示例 -> 构造示例/反例 几何学 -> 立体几何/空间几何 -> 多面体
  来源：
  • Tournament of Towns, 1980-1981, Spring, Main Version, Grades 11-12 问题 1 积分 7

• 问题

  证明不存在有 `7` 条边的多面体。

  主题：

  组合数学 -> 图论 证明与示例 -> 反证法 几何学 -> 立体几何/空间几何 -> 多面体

• 问题

  证明每个多面体都有两个面具有相同数量的边。

  主题：

  组合数学 -> 鸽巢原理 组合数学 -> 图论 几何学 -> 立体几何/空间几何 -> 多面体

• 问题

  将一个正方形分割成若干个凸多边形（多于`1`个），每个多边形的边数都不同。证明这些多边形中存在三角形。

  主题：

  组合数学 -> 鸽巢原理 组合数学 -> 组合几何学 组合数学 -> 图论 几何学 -> 平面几何学 -> 三角形 证明与示例 -> 反证法 几何学 -> 立体几何/空间几何 -> 多面体 最小值和最大值问题/优化问题

• 问题

  一个有 4k 条边的正多边形被分割成若干个平行四边形。证明在这些平行四边形中，至少有 k 个矩形。求所有矩形的面积之和。

  主题：

  几何学 -> 平面几何学 几何学 -> 面积计算 几何学 -> 立体几何/空间几何 -> 多面体 -> 正多面体