Tournament of Towns, 1980-1981, Spring

• 来自来源的问题：Main Version, Grades 9-10(1)

  找出所有整数解 `(k>1) y^k=x^2+x`

  主题：

  数论 -> 素数 -> 素因数分解 数论 -> 最大公约数（GCD）和最小公倍数（LCM） 代数学 -> 方程 -> 丢番图方程
  来源：
  • Tournament of Towns, 1980-1981, Spring, Main Version, Grades 9-10 问题 1 积分 3

• 来自来源的问题：Main Version, Grades 9-10(2)

  设 M 为平面上点的集合。如果可以从 M 中移除一个点，使得 O 是剩余点的通常对称中心，则称 O 为部分对称中心。一个平面上的有限点集可以有多少个部分对称中心？ 
  В. Прасолов 

  主题：

  组合数学 -> 组合几何学 证明与示例 -> 构造示例/反例 几何学 -> 平面几何学 -> 对称性
  来源：
  • Tournament of Towns, 1980-1981, Spring, Main Version, Grades 9-10 问题 2 积分 7

• 来自来源的问题：Main Version, Grades 9-10(3)

  设 ABCD 是一个内接于圆的凸四边形，其对角线互相垂直。O 是圆心。证明折线 AOC 将四边形分成面积相等的两部分。
  沃. 瓦罗瓦金

  主题：

  几何学 -> 面积计算 几何学 -> 平面几何学 -> 圆 几何学 -> 平面几何学 -> 角度计算
  来源：
  • Tournament of Towns, 1980-1981, Spring, Main Version, Grades 9-10 问题 3 积分 5

• 来自来源的问题：Main Version, Grades 9-10(4)

  64 位朋友同时听说了 64 条新闻（每位朋友一条新闻）。他们开始互相打电话并交流新闻。每次通话持续一小时。所有朋友需要多长时间才能知道所有新闻？
  A. 安吉阿斯 

  主题：

  逻辑学 -> 推理/逻辑
  来源：
  • Tournament of Towns, 1980-1981, Spring, Main Version, Grades 9-10 问题 4 积分 8

• 来自来源的问题：Main Version, Grades 9-10(5) - 狼和羊

  游戏在一个无限平面上进行。一个玩家移动狼，另一个玩家移动 50 只羊。狼走一步后，一只羊走一步，然后狼再走，以此类推。一步中，狼或羊最多只能向任何方向移动一米。在任何初始状态下，狼都能抓住至少一只羊吗？

  主题：

  组合数学 -> 组合几何学 组合数学 -> 不变量 组合数学 -> 博弈论 证明与示例 -> 构造示例/反例
  来源：
  • Tournament of Towns, 1980-1981, Spring, Main Version, Grades 9-10 问题 5 积分 16

• 来自来源的问题：Main Version, Grades 11-12(1)

  假设有两座金字塔彼此相切，如果它们没有共同的内部点，并且它们的交集是一个非退化的平面多边形。 是否有可能空间中的 8 座金字塔全部彼此相切？ 
  阿. 安吉安斯 

  主题：

  组合数学 -> 组合几何学 证明与示例 -> 构造示例/反例 几何学 -> 立体几何/空间几何 -> 多面体
  来源：
  • Tournament of Towns, 1980-1981, Spring, Main Version, Grades 11-12 问题 1 积分 7

• 来自来源的问题：Main Version, Grades 11-12(2)

  游戏在一个无限的平面上进行。一个玩家移动狼，另一个玩家移动 K 只羊。狼走一步后，一只羊走一步，然后狼再走，以此类推。每一步，狼或羊最多只能向任何方向移动一米。在任何初始状态下，狼是否总能抓住至少一只羊？

  主题：

  组合数学 -> 组合几何学 组合数学 -> 不变量 几何学 -> 平面几何学 逻辑学 -> 推理/逻辑 证明与示例 -> 构造示例/反例 最小值和最大值问题/优化问题
  来源：
  • Tournament of Towns, 1980-1981, Spring, Main Version, Grades 11-12 问题 2

• 来自来源的问题：Main Version, Grades 11-12(3)

  证明每个实数都可以写成 9 个仅由数字 0 和 7 组成的数字之和。 
  A. 土耳其石' 

  主题：

  数论 算术 证明与示例 代数学 -> 数列
  来源：
  • Tournament of Towns, 1980-1981, Spring, Main Version, Grades 11-12 问题 3

• 来自来源的问题：Main Version, Grades 11-12(4)

  有 K 个朋友同时知道了 K 个消息（每个朋友一个消息）。他们开始互相打电话并交换消息。每次通话持续一小时。所有朋友需要多长时间才能知道所有消息？观察以下情况：
  a. (5 分) K=64 
  b. (10 分) K=55 
  c. (12 分) K=100 
  安吉斯 

  主题：

  逻辑学 -> 推理/逻辑 组合数学 -> 案例分析/检查案例 -> 过程/程序 组合数学 -> 案例分析/检查案例 -> 过程/程序 最小值和最大值问题/优化问题
  来源：
  • Tournament of Towns, 1980-1981, Spring, Main Version, Grades 11-12 问题 4

• 来自来源的问题：Main Version, Grades 11-12(5)

  在一个无限的方格纸上标记了 6 个方格，如图所示。一些方格上有石头。一次操作中，如果一个石头上方和右侧都没有相邻的石头，则可以移除该石头，并在其上方和右侧的位置放置 2 个石头。如果在初始状态下石头位于以下位置，我们是否可以通过此操作移除所有标记位置的石头：
  A. (8 分) 在所有标记的方格中。
  B. (8 分) 仅在最底部和最左侧标记的方格中。

  O 
  O O 
  O O O

  M. Kontsevich' 

  主题：

  组合数学 -> 不变量 组合数学 -> 组合几何学 -> 网格纸几何/格点几何
  来源：
  • Tournament of Towns, 1980-1981, Spring, Main Version, Grades 11-12 问题 5