组合数学, 双重计数
双重计数是一种组合证明技术，通过两种不同的方式对一个量进行计数。将得到的两个表达式相等可以证明恒等式或不等式。问题需要识别一个可以以多种方式计数的集合。
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问题
一个国家有 `100` 个城市，每个城市有 `4` 条公路（公路只能在一个城市开始或结束）。这个国家有多少条公路？
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问题
你能用实数填满一个 `5xx5` 的表格，使得每一行的总和为正，并且每一列的总和为负吗？
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问题
你是否能用如下方式填满一个 `5xx5` 的表格？
a. 整数,
b. 实数,
使得每一行的总和是偶数，并且每一列的总和是奇数？
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问题
你能找到平均数为 `6.35` 的 `35` 个整数吗？
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问题
在两个拥有相同学生人数的班级中进行了一次测验。 考试结束后，老师声称 `0 ` 分的数量比所有其他分数加起来的数量多 `13`。 他有没有可能错了？
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精巧的任務
哈娜有一個籃子，裡面有 `13` 個蘋果。哈娜想知道所有這些蘋果的總重量。瑞秋有一個電子秤，她願意幫助哈娜，但僅在以下條件下：每次稱重哈娜只能稱重 `2` 個蘋果，並且稱重的次數不能超過 `8` 次。
解釋在這些條件下，哈娜如何才能知道蘋果的總重量。
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问题
一个骑士从 `a1` 格出发，到达 `h8` 格。是否可能它在途中恰好访问了棋盘上的每个格子一次？
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问题
给定一个大小为 `M times N` 的矩阵，矩阵的每个单元格中都写有实数。已知矩阵每行和每列的总和都等于 `1`。
证明 `M = N`。
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问题
曾经生活在地球上的每个人都进行了特定次数的握手（包括 0 次）。 证明进行了奇数次握手的人数是偶数。
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问题
这个神奇的国度由`25`个地区组成。是否有可能每个地区都与奇数个其他地区相邻？