几何学, 平面几何学, 圆

本主题涵盖圆的属性，包括半径、直径、周长、面积、弦、切线、割线、弧和扇形。问题涉及与这些元素相关的计算以及理解关于圆中角度和线段的定理。

• 内切圆与三角形

  三角形内有一点 P，它到三角形各边所在直线的距离分别为 `d_a,d_b,d_c`。记 R 为三角形外接圆的半径，r 为内切圆的半径。证明：`sqrt(d_a)+sqrt(d_b)+sqrt(d_3)<= sqrt (2R+5r) `。

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  主题：

  几何学 -> 平面几何学 -> 三角形 几何学 -> 平面几何学 -> 圆 代数学 -> 不等式
  来源：
  • Gillis Mathematical Olympiad, 2019-2020 问题 7

• 平面上的集合

  A. 是否存在一个平面上的集合 A，使得它与每个圆的交集恰好包含两个点？

  B. 是否存在一个平面上的集合 B，使得它与每个半径为 1 的圆的交集恰好包含两个点？

  主题：

  几何学 -> 平面几何学 -> 圆 证明与示例 -> 构造示例/反例 集合论 证明与示例 -> 反证法 最小值和最大值问题/优化问题
  来源：
  • Grossman Math Olympiad, 2006 问题 3

• 轮子转向他

  图中所有 6 个齿轮都在无滑动的情况下相互接触旋转。左侧齿轮的直径为 15.7 厘米，它每分钟旋转 12 圈。

  已知小齿轮每秒旋转一圈。

  小齿轮的直径是多少？

  

  主题：

  算术 几何学 -> 平面几何学 -> 圆 代数学 -> 应用题
  来源：
  • Bar-Ilan's weekly mathriddle competition, 2024 问题 7

• 问题

  对于任意三角形，作内切圆的切线，使其平行于三角形的边。 这些切线从原始三角形切割出三个小三角形。 证明这三个小三角形的内切圆半径之和等于原始三角形的内切圆半径。

  主题：

  几何学 -> 平面几何学 -> 圆 -> 圆的切线 几何学 -> 平面几何学 -> 三角形 -> 三角形相似