Gillis Mathematical Olympiad, 2019-2020
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问题 1 - 硬币称重
给定七枚外观相同的硬币，其中四枚是真的，三枚是假的。三枚假币重量相同，四枚真币也是如此。
已知假币比真币轻。一次称重可以选择两组硬币，并检查哪一组更轻，或者它们的重量是否相同。
至少需要多少次称重才能找到一枚假币？ -
问题 2 - 数学会议
有202名参与者参加了一个数学会议，他们来自三个国家：以色列、希腊和日本。
第一天，来自同一国家的每对参与者都握手了。第二天，每一对参与者，
其中一个是以色列人，另一个不是以色列人，都握手了。第三天，每对参与者，其中一个
是以色列人，另一个是希腊人，都握手了。总共发生了20200次握手。有多少
以色列参与者参加了会议？ -
问题 3 - 点在哪里？
在凸六边形 ABCDEF 中，三角形
ACE 和 BDF 是等边且全等的。证明
连接六边形对边中点的三条线段
交于一点。 -
问题 4 - 黑板上的数字
在一天开始时，黑板上写着四个整数 (`a_0,b_0,c_0,d_0`). 每分钟，丹尼
按照以下规则将黑板上的四个数字替换为一组新的数字：如果
黑板上写的数字是 (a,b,c,d)，首先丹尼生成数字
`a'=a+4b+16c+64d`
`b'=b+4c+16d+64a`
`c'=c+4d+16a+64b`
`d'=d+4a+16b+64c`
然后他删除数字 (a,b,c,d) 并用数字
(a',b',c',d') 替换它们。对于哪些初始四元组 (`a_0,b_0,c_0,d_0`)，丹尼
最终会写下一组数字，其中所有数字
能被 `5780^5780` 整除 -
问题 5 - 圆的切线
已知两个三角形 ACE, BDF
相交于 6 个点: G,H,I,J,K,L
如图所示。已知每个四边形
EFGI ,DELH ,CDKG ,BCJL ,ABIK 都有一个内切圆。
FAHJ 四边形是否也可能有一个内切圆？
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问题 6 - 数字环
环上按顺序写着从 1 到 6 的数字，如图所示。
每次，利奥尔选择环上的某个数字 a，其邻居为 b,c ，并在
其位置上写上数字 `(bc)/a`。
利奥尔是否能达到环上数字的乘积大于 `10^100` 的状态
(a) 在 100 步之内。
(b) 在 110 步之内
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问题 7 - 内切圆与三角形
三角形内有一点 P，它到三角形各边所在直线的距离分别为 `d_a,d_b,d_c`。记 R 为三角形外接圆的半径，r 为内切圆的半径。证明：`sqrt(d_a)+sqrt(d_b)+sqrt(d_3)<= sqrt (2R+5r) `。