Tournament of Towns, 1979-1980, Main, Spring

• 问题 1

  圆周上给定一些蓝色和红色的点。允许添加一个红点并改变其相邻点的颜色，或者移除一个红点并改变其先前相邻点的颜色（不允许在圆周上留下少于 2 个点）。证明仅通过这些操作不可能将具有两个红点的圆周转换为具有两个蓝点的圆周。
  K. Kazarnovski

  主题：

  组合数学 -> 组合几何学 组合数学 -> 不变量 代数学 逻辑学 -> 推理/逻辑 数论 -> 除法 -> 奇偶性 集合论 组合数学 -> 案例分析/检查案例 -> 过程/程序 组合数学 -> 着色问题 -> 棋盘着色

• 问题 2

  一个 `N×N` 的表格被数字填充，使得所有行都不同（至少在一个位置不同）。证明/证明可以删除任何列，以便在剩余的表格中所有行仍然不同。
  A. 昂'安斯

  主题：

  组合数学 -> 鸽巢原理 组合数学 -> 图论 证明与示例 -> 反证法

• 问题 3

  a₁, a₂, ..., a₁₀₁ 是 2,3,4, ... ,102 的一个排列。使得对于每个 i，a_i 可被 i 整除。找出所有这样的排列。

  主题：

  数论 -> 模算术/余数算术 -> 整除规则 组合数学 -> 案例分析/检查案例 -> 过程/程序

• 问题 4

  在空间中给定 30 个非退化的向量。证明至少存在 2 个向量，它们之间的夹角不大于 45 度。 
  一. 托尔皮戈

  主题：

  几何学 -> 三角学 几何学 -> 球面几何学 组合数学 -> 鸽巢原理 组合数学 -> 组合几何学 几何学 -> 平面几何学 -> 角度计算 几何学 -> 向量

• 问题 5

  给定凸四边形 ABCD。它的每条边都被分成 K 个相等的部分。边 AB 上的点与 CD 上的对应点相连，BC 上的点与 DA 上的点相连，从而形成 K² 个小四边形。从中选择 K 个四边形，使得每 2 个四边形至少被连接 AB 和 CD 的一条线以及连接 BC 和 DA 的一条线分隔开。证明这些四边形的面积之和为 S_ABCD/K. 
  A. 恩扬斯 

  主题：

  几何学 -> 平面几何学 几何学 -> 面积计算 几何学 -> 向量

• 问题 6

  在一个边长为1的正方形中，画了有限条平行于正方形边的线段，总长度为18（它们可以相交）。证明在正方形被这些线段分割成的所有部分中，至少有一部分的面积不小于0.01。 
  А. Эжанс, А. Берзиньш 

  主题：

  几何学 -> 平面几何学 几何学 -> 面积计算 代数学 -> 不等式 证明与示例 -> 反证法