תחרות הערים, תש"מ, עיקרית

• שאלה מהמקורות: אביב(1)

  על המעגל נתונות נקודות כחולות ואדומות. מותר להוסיף נקודה אדומה ולשנות את הצבעים של הנקודות השכנות שלה או להסיר נקודה אדומה ולשנות את הצבעים של הנקודות השכנות שלה בעבר (אסור להשאיר פחות מ-2 נקודות על המעגל). הוכח/י כי אי אפשר להעביר רק ע"י הפעולות האלה מעגל עם שתי נקודות אדומות למעגל עם שתי נקודות כחולות.
  ק. קזרנובסקי

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית קומבינטוריקה -> אינווריאנטים אלגברה לוגיקה -> הגיון תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות תורת הקבוצות קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים קומבינטוריקה -> צביעות -> צביעת שחמט
  מקורות:
  • תחרות הערים, תש"מ, עיקרית, אביב שאלה 1

• שאלה מהמקורות: אביב(2)

  טבלה `N×N` ממולאת במספרים כך שכל השורות נבדלות (לפחות במקום אחד). הוכח/י כי אפשר למחוק עמודה כלשהי כך שבטבלה שתישאר גם כל השורות יהיו שונות.
  א. אנג'אנס

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים קומבינטוריקה -> תורת הגרפים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה
  מקורות:
  • תחרות הערים, תש"מ, עיקרית, אביב שאלה 2

• שאלה מהמקורות: אביב(3)

  a₁, a₂, ..., a₁₀₁ הם תמורה של 2,3,4, ... ,102 . כך ש a_i מתחלק ב-i לכל i. מצא/י את כל התמורות מסוג זה.

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • תחרות הערים, תש"מ, עיקרית, אביב שאלה 3

• שאלה מהמקורות: אביב(4)

  במרחב נתונים 30 וקטורים לא מנוונים. הוכח כי יש לפחות 2 שהזווית ביניהם היא לא גדולה מ- 45 מעלות. 
  א. טולפיגו

  נושאים:

  גאומטריה -> טריגונומטריה גאומטריה -> גאומטריה על כדור קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית גאומטריה -> גאומטריה במישור -> חשבון זוויות גאומטריה -> ווקטורים
  מקורות:
  • תחרות הערים, תש"מ, עיקרית, אביב שאלה 4

• שאלה מהמקורות: אביב(5)

  נתון מרובע קמור ABCD. כל צלע שלו מחולקת ל K חלקים שווים. נקודות על צלע AB מחוברות עם נקודות מתאימות על CD ונקודות על BC עם נקודות על DA כך שנוצרים K² מרובעים קטנים. מהם בוחרים K מרובעים כך שכל 2 מרובעים מופרדים בלפחות קו אחד שמחבר AB ו- CD וקו אחד שמחבר BC עם DA. הוכח כי סכום השטחים של מרובעים אלה הוא S_ABCD/K. 
  א. אנג'אנס 

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור גאומטריה -> חשבון שטחים גאומטריה -> ווקטורים
  מקורות:
  • תחרות הערים, תש"מ, עיקרית, אביב שאלה 5

• שאלה מהמקורות: אביב(6)

  בריבוע עם צלע 1 העבירו מספר סופי של קטעים מקבילים לצלעות הריבוע עם אורך כולל 18 (הם יכולים להיחתך). הוכח כי בין החלקים שהריבוע מתחלק להם ע"י הקטעים יש חלק עם שטח 0.01 לפחות. 
  א. אנג'אנס, א. ברזינש 

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור גאומטריה -> חשבון שטחים אלגברה -> אי שוויונים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה
  מקורות:
  • תחרות הערים, תש"מ, עיקרית, אביב שאלה 6