שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני

  • שאלה 161 - חידת בטסי רוס

    כתב לי כתב וביקש ממני לספק לו את הפתרון לחידה ישנה המיוחסת לבטסי רוס מפילדלפיה, שהראתה אותה לג'ורג' וושינגטון. היא מורכבת מקיפול פיסת נייר כך שבעזרת גזירה אחת במספריים ניתן יהיה ליצור כוכב חמש-קצוות של חופש. אני לא יכול לומר אם סיפור מקור החידה הוא אמיתי או לא, אבל יש לי הדפס של הבית הישן בפילדלפיה שבו נאמר שהגברת גרה, ואני מאמין שהוא עדיין עומד שם. אבל הקוראים שלי ללא ספק יתעניינו בחידה הקטנה הזו.

    קחו פיסת נייר עגולה וקפלו אותה כך שבעזרת חיתוך אחד במספריים תוכלו ליצור כוכב מושלם בעל חמש פינות.

  • שאלה 162 - שרשרת הקרטון

    האם תוכלו לגזור את השרשרת הזו מחתיכת קרטון ללא כל חיבור שהוא? כל חוליה היא מוצקה; מבלי שנחתכה וחובּרה מחדש בשום מקום. זהו חידה ישנה ומעניינת שלמדתי כשהייתי ילד, אך אין לי ידע לגבי ממציאה.

  • שאלה 163 - קופסת הנייר

    אולי יהיה מעניין להציג כאן, למרות שזה לא בדיוק חידה, שיטה גאונית להכנת קופסת נייר.

    קחו ריבוע של נייר עבה ובאמצעות קיפולים עוקבים צרו את כל הקמטים המסומנים על ידי הקווים המקווקווים באיור. לאחר מכן חתכו את שמונת החלקים המשולשים הקטנים המוצללים, וחתכו את הנייר לאורך הקווים הכהים. האיור השני מראה את הקופסה מקופלת למחצה, ולקורא לא תהיה בעיה להשלים את בנייתה. לפני הקיפול, הקורא יכול לגזור את החלק המעגלי המסומן בדיאגרמה, למטרה שאסביר כעת.

     

    קופסה זו תשמש מצוין ליצירת טבעות מערבולת. טבעות אלה, שנדונו על ידי פון הלמהולץ ב-`1858`, מעניינות ביותר, והקופסה (עם החור החתוך) תיצור אותן בצורה מושלמת. מלאו את הקופסה בעשן טבק על ידי נשיפה עדינה דרך החור. כעת, אם תחזיקו אותה אופקית, ותקישו בעדינות על הצד הנגדי לחור, ניתן לייצר מספר עצום של טבעות מושלמות מפה אחת של עשן. עדיף שלא יהיו זרמי אוויר בחדר. אנשים לעתים קרובות לא מבינים שהטבעות האלה נוצרות באוויר כשלא משתמשים בעשן. העשן רק הופך אותן לגלויות. כעת, אחת מהטבעות האלה, אם היא מכוונת כראוי במסלולה, תנוע על פני החדר ותכבה את הלהבה של נר, והפעלול הזה מרשים הרבה יותר אם אתם מצליחים לעשות זאת בלי העשן. כמובן, עם קצת תרגול, ניתן לנשוף את הטבעות מהפה, אך הקופסה מייצרת אותן בשלמות רבה יותר, ואין צורך בשום מיומנות. לורד קלווין הציע את התיאוריה שהחומר עשוי להיות מורכב מטבעות מערבולת בנוזל הממלא את כל החלל, ועל ידי פיתוח ההשערה הוא הצליח להסביר צירופים כימיים.

  • שאלה 164 - חידת תפוח האדמה

    קחו פרוסה עגולה של תפוח אדמה, הניחו אותה על השולחן, ובדקו לכמה חלקים תוכלו לחלק אותה באמצעות שישה חיתוכים בסכין. כמובן שאסור לכם לסדר מחדש את החלקים או לערום אותם לאחר חיתוך. מהו המספר הגדול ביותר של חלקים שתוכלו ליצור? האיור מראה כיצד ליצור שישה עשר חלקים. כמובן שאפשר לשפר תוצאה זו בקלות.

  • שאלה 165 - שבעת החזירים

     

    הנה חידה קטנה שהוצגה לאחד מבני ארין בימים האחרונים ובלבלה אותו שלא לצורך, כי היא באמת די קלה. כפי שניתן לראות מהאיור, הוצג לו סקיצה של מכלאה מרובעת המכילה שבעה חזירים. הוא נשאל איך יחצה את המכלאה עם שלושה גדרות ישרות כדי לתחום כל חזיר במכלאה נפרדת. במילים אחרות, כל שעליכם לעשות הוא לקחת את העיפרון שלכם, ובשלוש משיכות ישרות על פני הריבוע, לתחום כל חזיר בנפרד. שום דבר לא יכול להיות פשוט יותר.

    האירי התלונן שהחזירים לא ישארו בשקט בזמן שהוא מקים את הגדרות. הוא אמר שכולם יתקבצו יחד, או שחיה עקשנית אחת תיכנס לפינה ותתקבץ לבד. צוין בפניו שלצורך החידה החזירים נייחים. הוא ענה שחזירים אירים אינם נייחים—הם בשר חזיר. לאחר ששוכנע לנסות, הוא צייר שלושה קווים, שאחד מהם חתך חזיר. כש הוסבר שאסור לעשות זאת, הוא מחה שאין טעם בחזיר עד שחותכים לו את הגרון. "Begorra, if it's bacon ye want without cutting your pig, it will be all gammon." לא נעשה לאיש האירי את העוול לרמוז שהמשחק מילים האומלל היה מכוון. עם זאת, הוא לא הצליח לפתור את החידה. האם אתה יכול לעשות זאת?

  • שאלה 166 - הגדרות של בעל הקרקע

    בעל הקרקע באיור מתייעץ עם מנהל המשק שלו בנוגע לשאלה קטנה ומטרידה למדי. יש לו תוכנית גדולה של אחד השדות שלו, שבו יש אחד עשר עצים. עכשיו, הוא רוצה לחלק את השדה לאחד עשר מתחמים בדיוק באמצעות גדרות ישרות, כך שכל מתחם יכיל עץ אחד כמחסה לבקר שלו. איך הוא יכול לעשות זאת עם כמה שפחות גדרות? קחו את העיפרון שלכם וציירו קווים ישרים על פני השדה עד שתסמנו את אחד עשר המתחמים (ולא יותר), ואז תראו כמה גדרות אתם צריכים. כמובן שהגדרות יכולות לחצות זו את זו.

  • שאלה 167 - החתולים של הקוסם

    קוסם הניח עשרה חתולים בתוך מעגל קסם כפי שמוצג באיור שלנו, והפנט אותם כך שיישארו נייחים במהלך רצונו. לאחר מכן הוא הציע לצייר שלושה מעגלים בתוך המעגל הגדול, כך שאף חתול לא יוכל להתקרב לחתול אחר מבלי לחצות מעגל קסם. נסו לצייר את שלושת המעגלים כך שלכל חתול תהיה מתחם משלו ולא יוכל להגיע לחתול אחר מבלי לחצות קו.

  • שאלה 168 - הפודינג של חג המולד

    "אם כבר מדברים על פודינגים של חג המולד," אמר המארח, כשהוא מביט במעדן המרשים בקצה השני של השולחן. "זה מזכיר לי את העובדה שידיד נתן לי חידה חדשה אתמול בנוגע לאחד כזה. הנה זה," הוא הוסיף, כשהוא צולל לתוך כיס חזה שלו.

    "'הבעיה: למצוא את התכולה,' אני מניח," אמר הנער מאיטון.

    "לא; ההוכחה לכך היא באכילה. אני אקריא לכם את התנאים."

     

    "'חתכו את הפודינג לשני חלקים, כל אחד בדיוק באותו גודל וצורה, מבלי לגעת באף אחד מהשזיפים. יש להתייחס לפודינג כאל דיסקה שטוחה, לא כאל כדור.'"

    "למה אתה צריך להתייחס לפודינג חג המולד כדיסקה? ומדוע שאדם הגיוני כלשהו ירצה אי פעם לעשות חלוקה מדויקת כזו?" שאל הציניקן.

    "זו רק חידה—בעיה בדיסקציה." כולם בתורם הסתכלו על החידה, אבל אף אחד לא הצליח לפתור אותה. זה קצת קשה אלא אם כן אתה מכיר את העיקרון הכרוך בהכנת פודינגים כאלה, אבל קל מספיק כשאתה יודע איך זה נעשה.

  • שאלה 169 - פרדוקס הטנגרם

    תחביבים עתיקים רבים, כמו שחמט, התפתחו והשתנו במשך מאות שנים עד כדי כך שהממציאים המקוריים שלהם בקושי היו מזהים אותם. זה לא המקרה עם טנגרם, בילוי שנראה שהוא בן לפחות ארבעת אלפים שנה, שלכאורה מעולם לא היה רדום, ושלא שונה או "שופר" מאז שהסיני האגדי טאן חתך לראשונה את שבעת החלקים המוצגים בדיאגרמה I. אם תסמנו את הנקודה B, באמצע בין A ל-C, בצד אחד של ריבוע בכל גודל, ואת D, באמצע בין C ל-E, בצד סמוך, כיוון החיתוכים ברור מכדי להזדקק להסבר נוסף. כל עיצוב במאמר זה בנוי משבעת חלקי הקרטון המושחרים. מובן מיד שהשילובים האפשריים הם אינסופיים.  

    מר סם לויד המנוח, מניו יורק, שפרסם ספר קטן של עיצובים גאוניים מאוד, החזיק בכתבי היד של מר צ'אלנור המנוח, שערך מחקר ארוך ומעמיק על טנגרם. ג'נטלמן זה, כך אומרים, מתעד כי במקור היו שבעה ספרי טנגרם, שנערכו בסין אלפיים שנה לפני העידן הנוצרי. ספרים אלה נדירים כל כך, שאחרי ארבעים שנות מגורים בארץ, הוא הצליח לראות רק עותקים מושלמים של הכרכים הראשון והשביעי עם קטעים מהשני. חלקים מאחד הספרים, שהודפסו בעלי זהב על קלף, נמצאו בפקין על ידי חייל אנגלי ונמכרו בשלוש מאות לירות שטרלינג.

    לפני כמה שנים הגיע לידי ספר קטן מהספרייה של לואיס קרול המנוח, שכותרתו The Fashionable Chinese Puzzle. הוא מכיל שלוש מאות עשרים ושלושה עיצובי טנגרם, בעיקר דמויות גיאומטריות חסרות ייחוד, שיש לבנות משבעת החלקים. הוא "פורסם על ידי ג'יי ואי. וואליס, `42` רחוב סקינר, וג'יי וואליס, ג'וניור, ספריית מרין, סידמות'" (דרום דבון). אין תאריך, אבל ההערה הבאה מציינת את זמן הפרסום די מקרוב: "המצאה גאונית זו הייתה במשך זמן מה הבילוי המועדף על הקיסר לשעבר נפוליאון, אשר, בהיותו כעת במצב מוחלש וחי מבודד מאוד, מבלה שעות רבות ביום באימון סבלנותו ותושייתו." הקורא יגלה, כפי שעשה הגולה הגדול, שאפשר להפיק הנאה רבה, לא לגמרי לא מלמדת, מיצירת עיצובים של אחרים. הוא ימצא שרבות מההמחשות למאמר זה קלות למדי לבנייה, וחלקן די קשות. כל תמונה יכולה להיחשב כחידה.

    אבל זה בילוי אחר לגמרי ליצור עיצובים חדשים ומקוריים בעלי אופי ציורי, ומפתיע עד כמה הטנגרם מאפשר ליצור תמונות מחיי היומיום—זוויתיות ולעתים קרובות גרוטסקיות, זה נכון, אבל מלאות אופי. אני נותן דוגמה לדמות שוכבת (`2`) שהיא חיננית במיוחד, ורק צריכה הפחתה קלה של הזוויות שלה כדי לייצר מתאר משביע רצון לחלוטין.  

    כפי שהתייחסתי למחבר Alice in Wonderland, אני נותן גם את העיצובים שלי של ארנבת מרץ (`3`) והכובען (`4`). אני נותן גם ניסיון לנפוליאון (`5`), ואינדיאני אדום מצוין מאוד עם הסקוו שלו על ידי מר לויד (`6` ו-`7`). מספר גדול של עיצובים אחרים ניתן למצוא במאמר שלי ב-The Strand Magazine לנובמבר, `1908`.

     

    עם הופעתו של מאמר מגזין זה, סר ג'יימס מאריי המנוח, הפילולוג הדגול, ניסה, עם המסירות המדהימה שאפיינה את כל עבודתו, להתחקות אחר מקור המילה "טנגרם". לבסוף הוא כתב כדלקמן:—"אחד מבניי הוא פרופסור במכללה האנגלו-סינית בטיינטסין. דרכו, עמיתיו ותלמידיו, הצלחתי לברר לגבי הטן לכאורה בקרב חוקרים סינים. הפרופסור הסיני שלנו כאן (אוקספורד) גילה גם הוא עניין בעניין וקיבל מידע ממזכיר הנציגות הסינית בלונדון, שהוא נציג בולט מאוד של אנשי הספרות הסינים."

    "התוצאה הייתה להראות שהאיש טאן, האל טאן ו'ספר הטאן' אינם ידועים כלל לספרות, להיסטוריה או למסורת הסינית. רוב האנשים המשכילים מעולם לא שמעו על השם, או הטענה על קיומם, של אלה. החידה, כמובן, ידועה היטב. היא נקראת בסינית ch'i ch'iao t'u; באופן מילולי, 'תוכנית שבע-מתוחכמת' או 'דמות חידה מתוחכמת של שבעה חלקים.' אף שם המתקרב ל'טנגרם', או אפילו 'טן', לא מופיע בסינית, וההצעות היחידות לאחרון היו ה-t'an הסיני, 'להרחיב'; או t'ang, ניב קנטונזי ל'סיני.' הוצע כי כנראה אמריקאי או אנגלי שידע קצת סינית או קנטונזית, שרצה שם לחידה, עשוי להמציא אחד מאחת המילים הללו והסיומת האירופית 'גרם.' אני הייתי אומר שהשם 'טנגרם' הומצא כנראה על ידי אמריקאי זמן קצר לפני `1864` ואחרי `1847`, אבל אני לא יכול למצוא אותו בדפוס לפני מהדורת `1864` של וובסטר. לכן נאלצתי להתייחס למילה בקצרה רבה במילון, ולספר למה היא מתייחסת ולאילו השערות או ניחושים נעשו לגבי השם, ונתתי כמה ציטוטים, אחד מהמאמר שלך עצמך, שאפשר לי לעשות יותר מהנושא ממה שיכולתי לעשות אחרת."

    כמה כתבים הודיעו לי שהם מחזיקים, או החזיקו, דוגמאות של הספרים הסיניים הישנים. ג'נטלמן אמריקאי כותב לי כדלקמן:—"יש לי ספר עשוי נייר טישו, מודפס בשחור (עם כתובת סינית בעמוד הראשון), המכיל למעלה משלוש מאות עיצובים, השייך לקופסת 'טנגרם,' שבבעלותי גם כן. הבלוקים הם שבעה במספר, עשויים צדף, מלוטשים מאוד וחרוטים דק משני הצדדים. אלה כלולים בקופסת עץ ורד `2` `1/8` אינץ' מרובעת. דודי הגדול, ——, היה אחד המיסיונרים הראשונים שביקרו בסין. הקופסה והספר האלה, יחד עם אוסף של שרידים אחרים, נשלחו לסבי ועברו אלי."

     

    הכתב שלי סיפק לי באדיבות שפשופים של הטנגרם, מהם ברור שהם חתוכים בפרופורציות המדויקות שאותן ציינתי. אני משחזר את הכתובת הסינית (`8`) מסיבה זו. הבעלים של הספר מודיע לי שהוא הגיש אותו למספר סינים בארצות הברית והציע דולר תמורת תרגום. אבל כולם סירבו בתוקף לקרוא את המילים, והציעו את התירוץ הצולע שהכתובת היא יפנית. ילידי יפן, לעומת זאת, מתעקשים שזה סיני. האם יש משהו נסתר ואזוטרי בטנגרם, שכל כך קשה להסיר את הצעיף? אולי דף זה יגיע לידיעת קורא כלשהו שמכיר את השפה הסינית, שיספק את התרגום הנדרש, שעשוי, או לא, להאיר מעט על שאלה מוזרה זו.  

    על ידי שימוש במספר סטים של טנגרם בו זמנית אנו עשויים לבנות תמונות שאפתניות יותר. חבר יעץ לי לא לשלוח את התמונה שלי, "משחק ביליארד" (`9`), לאקדמיה. הוא הבטיח לי שהיא לא תתקבל כי "השופטים כל כך כבולים על ידי מוסכמות." אולי הוא צדק, והיא תהיה מוערכת יותר על ידי פוסט-אימפרסיוניסטים וקוביסטים. השחקנים שוקלים מהלך עדין מאוד בראש השולחן. כמובן, שני האנשים, השולחן והשעון נוצרו מארבעה סטים של טנגרם. התמונה השנייה שלי נקראת "התזמורת" (`10`), והיא תוכננה לקישוט אולם מוזיקה גדול. כאן יש לנו את המנצח, הפסנתרן, נגן הקורנט השמנמן, הנגן השמאלי של הקונטרבס, שתנוחתו נאמנה למציאות, אם כי הוא עומד במרחק חריג מהכלי שלו, ואת ילד המתופף, עם מעמד התווים המרשים שלו. הכלב מאחורי הפסנתר אינו מיילל: הוא מאזין מעריך.  

    דבר אחד ראוי לציון בתמונות הטנגרם הללו הוא שהן מציעות לדמיון הרבה דברים שבאמת לא נמצאים שם. מי, למשל, יכול להסתכל כמה דקות על ליידי בלינדה (`11`) והנערה ההולנדית (`12`) מבלי להרגיש בקרוב את ההבעה היהירה במקרה אחד ואת המבט השובב במקרה השני? ואז הסתכלו שוב על החסידה (`13`), ותראו כיצד מוצע לתודעה שהרגל למעשה דקה בהרבה מכל אחד מהחלקים המשמשים. זו ממש אשליה אופטית. שוב, שימו לב במקרה של היאכטה (`14`) כיצד, על ידי השארת הנקודה הזוויתית הקטנה הזו בחלק העליון, מוצע תורן שלם. אם תשימו את הטנגרם שלכם יחד על נייר לבן כך שהם לא ממש נוגעים זה בזה, במקרים מסוימים האפקט משתפר על ידי הקווים הלבנים; במקרים אחרים זה כמעט נהרס.  

    לבסוף, אני נותן דוגמה מהפרדוקסים המוזרים הרבים שאדם נתקל בהם בתפעול טנגרם. אני מראה עיצובים של שני אנשים מכובדים (`15` ו-`16`) שנראים בדיוק אותו הדבר, למעט העובדה שלאחד יש רגל ולשני אין. עכשיו, שתי הדמויות האלה עשויות מאותם שבעה טנגרם. מאיפה האיש השני מקבל את הרגל שלו?  

  • שאלה 170 - כיסויי הכריות

     

    האיור לעיל מייצג ריבוע של ברוקד. גברת רוצה לחתוך אותו לארבעה חלקים, כך ששני חלקים יהוו כיסוי עליון מרובע לחלוטין לכרית אחת, ושני החלקים הנותרים יהוו כיסוי עליון מרובע לכרית אחרת. איך היא אמורה לעשות זאת? כמובן, היא יכולה לחתוך רק לאורך הקווים שמחלקים את עשרים וחמשת הריבועים, והדוגמה חייבת "להתאים" כראוי ללא כל אי סדר בעיצוב החומר. יש רק דרך אחת לעשות זאת. האם תוכלו למצוא אותה?