שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני

  • שאלה 131 - הקמצן הספרדי

    בעיירה קטנה בקסטיליה החדשה חי פעם קמצן ידוע בשם דון מנואל רודריגז. אהבתו לכסף הושוותה רק לתשוקה עזה לבעיות אריתמטיות. חידות אלה עסקו בדרך כלל באופן כזה או אחר באוצרותיו שנצברו, והוצעו על ידו אך ורק כדי שיוכל ליהנות מלפתור אותן בעצמו. למרבה הצער, רק מעטות מהן שרדו, וכאשר טיילתי בספרד, ואספתי חומר לעבודה מוצעת על "הבצל הספרדי כגורם לשקיעה לאומית", גיליתי רק מעטות מאוד. אחת מהן עוסקת בשלוש הקופסאות המופיעות בפורטרט האותנטי המצורף. כל קופסה הכילה מספר שונה של דובלוני זהב. ההפרש בין מספר הדובלונים בקופסה העליונה למספר בקופסה האמצעית היה זהה להפרש בין המספר בקופסה האמצעית למספר בקופסה התחתונה. ואם תכולתן של שתיים כלשהן מהקופסאות היו מאוחדות, הן היו יוצרות מספר ריבועי. מהו המספר הקטן ביותר של דובלונים שיכול היה להיות באחת מהקופסאות?

  • שאלה 132 - תשע תיבות האוצר

    החידה הבאה תמחיש את החשיבות של היכולת לקבוע את הגבולות המינימליים והמקסימליים של מספר נדרש. לעתים קרובות ניתן לעשות זאת. לדוגמה, טרם התברר בכמה דרכים שונות ניתן לבצע את מסע הפרש על לוח השחמט; אבל אנו יודעים שזה פחות ממספר הצירופים של `168` דברים שנלקחו `63` בכל פעם ויותר מ-`31,054,144`—כי האחרון הוא מספר המסלולים מסוג מסוים. או, כדי לקחת מקרה מוכר יותר, אם תשאל אדם כמה מטבעות יש לו בכיס, הוא עשוי לומר לך שאין לו מושג קלוש. אבל בחקירה נוספת תוציא ממנו הצהרה כגון: "כן, אני בטוח שיש לי יותר משלושה מטבעות, ובאותה מידה בטוח שאין כל כך הרבה כמו עשרים וחמישה." כעת, הידיעה שמספר מסוים נמצא בין `2` ל-`12` בחידה שלי תאפשר לפותר למצוא את התשובה המדויקת; ללא מידע זה יהיה מספר אינסופי של תשובות, מהן לא ניתן יהיה לבחור את הנכונה.

    זוהי חידה נוספת שהתקבלה מחברי דון מנואל רודריגז, הקמצן התמהוני של ניו קסטיליה. בערב ראש השנה האזרחית בשנת `1879` הוא הראה לי תשע תיבות אוצר, ולאחר שהודיע לי שכל תיבה הכילה מספר ריבועי של דובלונים מוזהבים, ושההפרש בין תכולת A ו-B היה זהה לזה שבין B ו-C, D ו-E, E ו-F, G ו-H, או H ו-I, הוא ביקש ממני לומר לו את מספר המטבעות בכל אחת מהקופסאות. בהתחלה חשבתי שזה בלתי אפשרי, שכן יהיה מספר אינסופי של תשובות שונות, אבל לאחר מחשבה גיליתי שזה לא המקרה. גיליתי שבעוד שכל תיבה הכילה מטבעות, התכולה של A, B, C גדלה במשקל בסדר אלפביתי; כך גם D, E, F; וכך גם G, H, I; אבל D או E לא צריכים להיות כבדים יותר מ-C, וגם G או H לא צריכים להיות כבדים יותר מ-F. כמו כן, היה ברור לחלוטין שתיבה A לא יכולה להכיל יותר מתריסר מטבעות מבחוץ; ייתכן שלא יהיה חצי מהמספר הזה, אבל הייתי בטוח שלא היו יותר משנים עשר. עם הידע הזה הצלחתי להגיע לתשובה הנכונה.

    בקיצור, עלינו לגלות תשעה מספרים ריבועיים כך ש-A, B, C; ו-D, E, F; ו-G, H, I הן שלוש קבוצות בסדרה חשבונית, כאשר ההפרש הקבוע זהה בכל קבוצה, ו-A קטן מ-`12`. כמה דובלונים היו בכל אחת מתשע התיבות?

  • שאלה 133 - חמשת השודדים

    חמשת השודדים הספרדים, אלפונסו, בניטו, קרלוס, דייגו ואסטבן, ספרו את שללם לאחר פשיטה, כאשר התגלה שהם שדדו יחד בדיוק `200` דובלונים. אחד מהחבורה ציין שאם לאלפונסו יהיה פי שנים עשר, לבניטו פי שלושה, לקרלוס אותו סכום, לדייגו חצי מהסכום ולאסטבן שליש מהסכום, עדיין יהיו להם יחד בדיוק `200` דובלונים. כמה דובלונים היו לכל אחד?

    ישנן תשובות נכונות רבות באותה מידה לשאלה זו. הנה אחת מהן:

    A 6 × 12 = 72
    B 12 × 3 = 36
    C 17 × 1 = 17
    D 120 × ½ = 60
    E 45 × 1/3 = 15
      200       200

    החידה היא לגלות בדיוק כמה תשובות שונות יש, בהנחה שלכל אחד היה משהו ושאסור שיהיה כסף חלקי — רק דובלונים בכל מקרה.

    בעיה זו, שניסוחה שונה במקצת, הוצגה על ידי טרטליה (נפטר ב-`1559`), והוא החמיא לעצמו שהוא מצא פתרון אחד; אבל מתמטיקאי צרפתי ידוע (M.A. Labosne), בעבודה מהעת האחרונה, אומר שקוראיו יופתעו כאשר הוא מבטיח להם שיש `6,639` תשובות נכונות שונות לשאלה. האם זה כך? כמה תשובות יש?

  • שאלה 134 - החידה של הבנקאי

    לבנקאי היה לקוח הרפתקן שתמיד היה להוט להמר על כל דבר. בתקווה לרפא אותו מההרגל הרע שלו, הוא הציע כהימור שהלקוח לא יוכל לחלק את תכולת קופסה המכילה רק שישה פני לחלוקה למספר מדויק של ערימות שוות של שישה פני. הבנקאי היה הראשון להכניס שישה פני אחד או יותר (כמה שרצה); ואז הלקוח היה אמור להכניס שישה פני אחד או יותר (אך במקרה שלו לא יותר מלירה אחת בערך), כאשר אף אחד מהם לא יודע מה השני הכניס. לבסוף, הלקוח היה אמור להעביר מדלפק הבנקאי לקופסה כמה שישה פני שהבנקאי ביקש ממנו להכניס. החידה היא למצוא כמה שישה פני הבנקאי צריך להכניס תחילה וכמה הוא צריך לבקש מהלקוח להעביר, כדי שיהיה לו הסיכוי הטוב ביותר לנצח.

  • שאלה 135 - הבעיה של סתת האבנים

    לסתת אבנים היה פעם מספר גדול של קוביות אבן בחצר שלו, כולן באותו גודל בדיוק. היו לו כמה הרגלים קטנים דמיוניים מאוד, ואחד הרעיונות המוזרים שלו היה לשמור את הבלוקים האלה מוערמים בערימות מעוקבות, כך שאין שתי ערימות שמכילות את אותו מספר בלוקים. הוא גילה בעצמו (עובדה שידועה היטב למתמטיקאים) שאם הוא היה לוקח את כל הבלוקים הכלולים במספר כלשהו של ערימות בסדר רגיל, החל מהקוביה הבודדת, הוא תמיד יכול היה לסדר אותם על הקרקע כדי ליצור ריבוע מושלם. זה יהיה ברור לקורא, מכיוון שבלוק אחד הוא ריבוע, `1+8 = 9` הוא ריבוע, `1+8+27=36` הוא ריבוע, `1+8+27+64=100` הוא ריבוע, וכן הלאה. למעשה, סכום כל מספר של קוביות עוקבות, החל תמיד מ-`1`, הוא בכל מקרה מספר ריבועי.

    יום אחד נכנס ג'נטלמן לחצר של הבנאי והציע לו מחיר מסוים אם יספק לו מספר עוקב של ערימות מעוקבות אלה, שאמורות להכיל יחד מספר בלוקים שניתן לפרוס ליצירת ריבוע, אך הקונה התעקש על יותר משלוש ערימות וסירב לקחת את הבלוק הבודד מכיוון שהיה בו פגם. מה היה המספר הקטן ביותר האפשרי של בלוקי אבן שהבנאי היה צריך לספק?

  • שאלה 136 - צבאו של הסולטן

    סולטן מסוים רצה לשלוח לקרב צבא שניתן היה ליצור ממנו שתי ריבועים מושלמים בשתים עשרה דרכים שונות. מהו המספר הקטן ביותר של אנשים מהם יכול היה להיות מורכב הצבא? כדי להבהיר זאת למתחילים, אסביר שאם היו `130` אנשים, ניתן היה ליצור אותם לשני ריבועים בשתי דרכים שונות בלבד - `81` ו-`49`, או `121` ו-`9`. כמובן, יש להשתמש בכל האנשים בכל הזדמנות.

  • שאלה 137 - מחקר בחיסכון

    מספרים מסוימים נקראים משולשים, משום שאם הם מייצגים סופרים או מטבעות, ניתן לסדר אותם על השולחן בצורה של משולשים. המספר `1` תמיד נחשב למשולש, בדיוק כפי ש-`1` הוא מספר ריבועי ומספר מעוקב. הניחו מונה אחד על השולחן — זהו המספר המשולשי הראשון. כעת הניחו שני מונים נוספים מתחתיו, ויש לכם משולש של שלושה מונים; לכן `3` הוא משולשי. לאחר מכן הניחו שורה של שלושה מונים נוספים, ויש לכם משולש של שישה מונים; לכן `6` הוא משולשי. אנו רואים שכל שורת מונים שאנו מוסיפים, המכילה מונה אחד יותר מהשורה שמעליה, יוצרת משולש גדול יותר.

    כעת, מחצית מסכום של כל מספר והריבוע שלו היא תמיד מספר משולשי. כך, מחצית מ-`2` + `2``2` = `3`; מחצית מ-`3` + `3``2` = `6`; מחצית מ-`4 + 4``2` = `10`; מחצית מ-`5` + `5``2`= `15`; וכן הלאה. אז אם אנו רוצים ליצור משולש עם `8` מונים בכל צד, נצטרך מחצית מ-`8 + 8``2`, או `36` מונים. זוהי תכונה קטנה ויפה של מספרים. לפני שאמשיך הלאה, אני אומר כאן שאם הקורא יעיין ב"בעיית הבנאי" (מס' `135`), הוא יזכור שסכום כל מספר של קוביות עוקבות המתחילות ב-`1` הוא תמיד ריבוע, ואלה יוצרים את הסדרה `1``2`, `3``2`, `6``2`, `10``2` וכו'. כעת יובן כאשר אני אומר שאחד המפתחות לחידה היה העובדה שאלה הם תמיד הריבועים של מספרים משולשים—כלומר, הריבועים של `1, 3, 6, 10, 15, 21, 28` וכו', כל אחד מהמספרים האלה, כפי שראינו, ייצור משולש.

    כל מספר שלם הוא או משולשי, או סכום של שני מספרים משולשים, או סכום של שלושה מספרים משולשים. כלומר, אם ניקח כל מספר שנבחר, תמיד נוכל ליצור משולש אחד, שניים או שלושה משולשים איתם. המספר `1` באופן ברור, ובאופן ייחודי, ייצור רק משולש אחד; מספרים מסוימים ייצרו רק שני משולשים (כמו `2, 4, 11` וכו'); מספרים מסוימים ייצרו רק שלושה משולשים (כמו `5, 8, 14` וכו'). אז, שוב, מספרים מסוימים ייצרו גם משולש אחד וגם שניים (כמו `6`), אחרים גם משולש אחד וגם שלושה (כמו `3` ו-`10`), אחרים גם שניים וגם שלושה משולשים (כמו `7` ו-`9`), בעוד שמספרים מסוימים (כמו `21`) ייצרו משולש אחד, שניים או שלושה, כרצוננו. כעת לחידה קטנה במספרים משולשים.

    סנדי מקאליסטר, מאברדין, נהג במשק בית קפדני, והיה להוט לאמן את אשתו הטובה בהרגלי החיסכון שלו. הוא אמר לה בערב השנה החדשה האחרון שכאשר היא תחסוך כל כך הרבה מטבעות זהב שהיא תוכל לפרוס את כולם על השולחן כדי ליצור ריבוע מושלם, או משולש מושלם, או שני משולשים, או שלושה משולשים, בדיוק כפי שהוא עשוי לבחור לבקש, הוא יוסיף חמישה פאונד לאוצר שלה. עד מהרה היא הלכה לבעלה עם שקית קטנה של £`36` במטבעות זהב ודרשה את הפרס שלה. יתברר ששלושים וששת המטבעות ייצרו ריבוע (עם צלע `6`), שהם ייצרו משולש בודד (עם צלע `8`), שהם ייצרו שני משולשים (עם צלעות `5` ו-`6`), ושהם ייצרו שלושה משולשים (עם צלעות `3, 5` ו-`5`). בכל אחד מארבעת המקרים כל שלושים וששת המטבעות משמשים, כנדרש, ולכן סנדי העניק לאשתו את המתנה שהובטחה כמו איש ישר.

    הסקוטי לאחר מכן התחייב להאריך את הבטחתו לחמש שנים נוספות, כך שאם בשנה הבאה מספר מטבעות הזהב המוגדל שהיא חסכה יוכל להיפרס בארבע הדרכים השונות, היא תקבל מתנה שנייה; אם היא תצליח בשנה שלאחר מכן היא תקבל מתנה שלישית, וכן הלאה עד שהיא תרוויח שש מתנות בסך הכל. עכשיו, כמה מטבעות זהב היא צריכה לשים ביחד לפני שהיא תוכל לזכות במתנה השישית?

    מה שאתם צריכים לעשות הוא למצוא חמישה מספרים, הקטנים ביותר האפשריים, הגבוהים מ-`36`, שניתן להציג בארבע הדרכים—ליצור ריבוע, ליצור משולש, ליצור שני משולשים, וליצור שלושה משולשים. הגבוה מבין חמשת המספרים שלכם יהיה התשובה שלכם.

  • שאלה 138 - הדילמה של אנשי הארטילריה

    "יש לערום את כל כדורי התותח בפירמידות מרובעות," הייתה הפקודה שהוצאה לגדוד. כך נעשה. ואז הגיעה הפקודה הנוספת, "כל הפירמידות צריכות להכיל מספר ריבועי של כדורים." ואז החלו הצרות. "אי אפשר לעשות את זה," אמר המג'ור. "תסתכלו על הפירמידה הזו, למשל; יש שישה עשר כדורים בבסיס, אחר כך תשעה, אחר כך ארבעה, ואז אחד בקצה, מה שנותן שלושים כדורים בסך הכל. אבל חייבים להיות עוד שישה כדורים, או חמישה פחות, כדי ליצור מספר ריבועי." "חייבים לעשות את זה," התעקש הגנרל. "כל מה שאתם צריכים לעשות הוא לשים את המספר הנכון של כדורים בפירמידות שלכם." "הבנתי!" אמר סגן, הגאון המתמטי של הגדוד. "הניחו את הכדורים בנפרד." "שטויות!" קרא הגנרל. "אתה לא יכול לערם כדור אחד לפירמידה!" האם באמת אפשר לציית לשתי הפקודות?

  • שאלה 139 - נשות ההולנדים

    אני תוהה כמה מהקוראים שלי מכירים את החידה של "נשות ההולנדים" —שבה עליכם לקבוע את שמות נשותיהם של שלושה גברים, או, ליתר דיוק, איזו אישה שייכת לכל בעל. לפני כשלושים שנה זה "עבר בין כולם," כמשהו די חדש, אך לאחרונה גיליתי זאת ב-Ladies' Diary עבור `1739-40`, כך שזה היה מוכר בבירור למין היפה לפני יותר ממאה ושבעים שנה. כמה מאמותינו, נשותינו, אחיותינו, בנותינו ודודותינו יוכלו לפתור את החידה היום? נקווה שאחוז גדול בהרבה מאשר אז.

    שלושה הולנדים, בשמות הנדריק, אלס וקורנליוס, ונשותיהם, גורטרון, קטרון ואנה, קונים חזירים. כל אחד קונה כמספר השילינגים שהוא (או היא) נותן עבור אחד. כל בעל משלם בסך הכל שלושה גינאה יותר מאשתו. הנדריק קונה עשרים ושלושה חזירים יותר מקטרון, ואלס אחד-עשר יותר מגורטרון. עכשיו, מה היה שמה של אשת כל גבר?

  • שאלה 140 - למצוא את שם המשפחה של עדה

    חידה זו דומה מאוד לחידה האחרונה, והערותיי על פתרונה עשויות להיות שימושיות לקורא במקרה אחר. לאחרונה היא הוגשה לעיתון ערב בסידני העוסק ב"חידוד שכל", אך נדחתה בטענה שהיא ילדותית ושהם מפרסמים רק בעיות הניתנות לפתרון! חמש גברות, מלוות בבנותיהן, קנו בד באותה חנות. כל אחת מעשר הנשים שילמה מספר פרד'ינגים לרגל כמספר הרגליים שקנתה, וכל אם הוציאה `8`s. `5`¼d. יותר מבִתה. גברת רובינסון הוציאה `6`s. יותר מגברת אוונס, שהוציאה בערך רבע מגברת ג'ונס. גברת סמית' הוציאה הכי הרבה. גברת בראון קנתה `21` יארדים יותר מבסי—אחת הבנות. אנני קנתה `16` יארדים יותר ממרי והוציאה £`3, 0`s. `8`d. יותר מאמילי. שמה הפרטי של הבת האחרת היה עדה. עכשיו, מה היה שם המשפחה שלה?