שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני

  • שאלה 141 - שיווק של שבת

    הנה מקרה משעשע קטן של שיווק, שלמרות שהוא עוסק במספר רב של פריטי כסף, מוביל לשאלה בעלת אופי שונה לחלוטין. ארבעה זוגות נשואים נסעו לכפר שלהם בשבת בערב האחרון כדי לעשות קניות קטנות. הם היו צריכים להיות מאוד חסכוניים, כי ביחד היו להם רק ארבעים מטבעות שילינג. העניין הוא, אן הוציאה `1`s., מרי הוציאה `2`s., ג'יין הוציאה `3`s., וקייט הוציאה `4`s. הגברים היו קצת יותר פזרניים מנשותיהם, כי נד סמית' הוציא כמו אשתו, טום בראון הוציא פי שניים מאשתו, ביל ג'ונס הוציא פי שלושה מאשתו, וג'ק רובינסון הוציא פי ארבעה מאשתו. בדרך הביתה מישהו הציע שהם יחלקו את מה שנשאר להם באופן שווה ביניהם. זה נעשה, והשאלה המטרידה היא פשוט זו: מה היה שם המשפחה של כל אישה? האם אתה יכול להתאים את ארבעת הזוגות?

  • שאלה 142 - עבודת טלאים ממשי

    חברות המשפחה ממשפחת וילקינסון הכינו שמיכת טלאים פשוטה, כמתנה קטנה לחג המולד, המורכבת כולה מחתיכות מרובעות באותו גודל, כפי שמוצג באיור. היו חסרות רק ארבע פינות כדי להשלים אותה. מישהו הצביע בפניהן שאם יפרקו את צלב יווני באמצע ואז יחתכו את התפרים לאורך החיבורים הכהים, ארבעת החלקים כולם באותו גודל וצורה יתאימו יחד וייצרו ריבוע. הקורא יודע, מהפתרון באיור `39`, שזה נעשה די בקלות. אבל ג'ורג' וילקינסון הציע להן לפתע את החידה הזו. הוא אמר, "במקום לבחור את הצלב כולו, וליצור את הריבוע מארבעה חלקים שווים, האם תוכלו לחתוך ריבוע שלם וארבעה חלקים שווים שייצרו צלב יווני מושלם?" הפאזל הוא, כמובן, עכשיו די קל.

  • שאלה 143 - שְׁנֵי צְלָבִים מֵאֶחָד

    חתוך צלב יווני לחמישה חלקים שייצרו שני צלבים כאלה, שניהם באותו גודל. הפתרון של החידה הזו יפה מאוד.

  • שאלה 144 - הצלב והמשולש

    חתוך צלב יווני לשישה חלקים שייצרו משולש שווה צלעות. זוהי בעיה קשה נוספת, ואציין כאן שפתרון מעשי בלתי אפשרי ללא ידע מוקדם בשיטה שלי להמרת משולש שווה צלעות לריבוע (ראה מס' `26`, "חידות קנטרברי").

  • שאלה 145 - הצלב המקופל

    גזרו מצלב יווני מנייר; לאחר מכן קפלו אותו כך שבעזרת חיתוך ישר בודד במספריים, ארבעת החלקים שנוצרו ייצרו ריבוע.

  • שאלה 146 - חידת חיתוך קלה

     

    ראשית, גזרו פיסת נייר או קרטון בצורה המוצגת באיור. ניתן לראות מיד שהפרופורציות הן פשוט אלו של ריבוע המחובר למחצית ריבוע דומה אחר, המחולק באלכסון. החידה היא לחתוך אותו לארבעה חלקים, כולם באותו גודל וצורה בדיוק.

  • שאלה 147 - חידת ריבוע קלה

     

    אם תיקח פיסת קרטון מלבנית, שאורכה כפול מרוחבה, ותחתוך אותה לשניים באלכסון, תקבל שניים מהחלקים המוצגים באיור. החידה היא ליצור ריבוע מחמישה חלקים כאלה בגודל שווה. ניתן לחתוך אחד מהחלקים לשניים, אך יש להשתמש בשאר החלקים בשלמותם.

  • שאלה 148 - חידת הלחמנייה

    שלושת העיגולים מייצגים שלוש לחמניות, ונדרש פשוט להראות כיצד ניתן לחלק אותן באופן שווה בין ארבעה בנים. יש להתייחס ללחמניות כבעלות עובי שווה לכל אורכן ועובי שווה זו לזו. כמובן, יש לחתוך אותן למספר החלקים המועט ביותר האפשרי. כדי לפשט זאת, אציין את העובדה המפתיעה למדי שדי בחמישה חלקים בלבד, ומכך ניתן יהיה לראות שנער אחד מקבל את חלקו בשני חלקים ושלושת האחרים מקבלים את חלקם בחלק אחד. אני מודע לכך שהצהרה זו "מסגירה" את החידה, אך היא לא אמורה לפגוע בעניינם של אלה שאוהבים לגלות את "הסיבה לכך".

  • שאלה 149 - ריבועי השוקולד

    הנה לוח שוקולד, עם שקעים בקווקווים כך שאפשר להפריד בקלות את עשרים הריבועים. הכינו העתק של הלוח מנייר או קרטון, ואז נסו לחתוך אותו לתשעה חלקים כך שייצרו ארבעה ריבועים מושלמים בגודל זהה לחלוטין.

  • שאלה 150 - חיתוך זוית

     

    הצורה שמבלבלת את הנגר באיור מייצגת זווית. ניתן לראות שהמידות שלה הן של ריבוע שהוסר ממנו רבע. החידה היא לחתוך אותה לחמישה חלקים שיתאימו זה לזה וייצרו ריבוע מושלם. אני מציג ניסיון, שפורסם באמריקה, לבצע את המשימה בארבעה חלקים, המבוסס על מה שידוע כ"עיקרון הצעד", אבל זו טעות.  

    נאמר לנו תחילה לחתוך את החלקים `1` ו-`2` ולארוז אותם בחלל המשולש המסומן על ידי הקו המקווקו, וכך ליצור מלבן.

    עד כאן טוב ויפה. עכשיו, אנו מונחים ליישם את עקרון הצעד הישן, כפי שמוצג, ועל ידי הזזת החלק `4` צעד אחד למטה, ליצור את הריבוע הנדרש. אבל, לצערי, זה לא מייצר ריבוע: רק מלבן. נקרא לשלושת הצדדים הארוכים של הזווית `84` אינץ' כל אחד. אז, לפני חיתוך הצעדים, המלבן שלנו בשלושה חלקים יהיה `84`×`63`. הצעדים צריכים להיות `10`½ אינץ' בגובה ו-`12` אינץ' ברוחב. לכן, על ידי הזזת צעד אחד למטה אנו מקטינים ב-`12` אינץ' את הצד `84` אינץ' ומגדילים ב-`10`½ אינץ' את הצד `63` אינץ'. לכן המלבן הסופי שלנו חייב להיות `72` אינץ' × `73`½ אינץ', מה שבהחלט אינו ריבוע! העובדה היא שניתן ליישם את עקרון הצעד רק על מלבנים עם צלעות באורכים יחסיים מסוימים. לדוגמה, אם הצד הקצר יותר במקרה זה היה `61` `5/7` (במקום `63`), אז שיטת הצעד תתאים. כי אז הצעדים יהיו `10` `2/7` אינץ' בגובה ו-`12` אינץ' ברוחב. שימו לב ש-`61` `5/7` × `84`= הריבוע של `72`. נכון לעכשיו לא נמצא פתרון בארבעה חלקים, ואני לא מאמין שאפשר למצוא כזה.