שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני

• שאלה 181 - שלוש תחנות רכבת

  כששבתי בקרון רכבת, הבחנתי בקצה השני של הקרון באדון מכובד, שהכרתי למראה, משוחח עם נוסע אחר, שהיה ככל הנראה חבר שלו.

  "כמה רחוק אתה צריך לנסוע אל מקומך מתחנת הרכבת?" שאל הזר.

  "ובכן," השיב האדון, "אם ארד באפלפורד, זה בדיוק אותו מרחק כמו אם אסע לברידג'פילד, עוד חמישה עשר מיילים הלאה; ואם אחליף רכבת באפלפורד ואסע משם שלושה עשר מיילים לקרטרטון, זה עדיין יהיה אותו מרחק. אתה רואה, אני נמצא במרחק שווה משלוש התחנות, אז יש לי מבחר טוב של רכבות."

  ידעתי שבדיוק ברידג'פילד נמצאת במרחק של ארבעה עשר מיילים מקרטרטון, אז שעשעתי את עצמי בחישוב המרחק המדויק שהאדון צריך לנסוע הביתה, לא משנה באיזו תחנה הוא ירד. מה היה המרחק?

  נושאים:

  גאומטריה -> חשבון שטחים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים אלגברה -> בעיות מילוליות

• שאלה 182 - חידת הגינה

  פרופסור רַאקְבְּרֵיין סיפר לי שעישן לאחרונה מקטרת ידידותית מתחת לעץ בגינה של מכר כפרי. הגינה הייתה מוקפת בארבעה קירות ישרים, וידידו הודיע לו שהוא מדד אותם ומצא שאורכם הוא `80, 45, 100`, ו-`63` יארד בהתאמה. "אם כך," אמר הפרופסור, "נוכל לחשב את השטח המדויק של הגינה." "זה בלתי אפשרי," השיב המארח שלו, "כי אתה יכול לקבל מספר אינסופי של צורות שונות עם ארבעת הצדדים האלה." "אבל אתה שוכח," אמר רַאקְבְּרֵיין, עם ניצוץ בעיניו, "שאמרת לי פעם ששתלת את העץ הזה במרחק שווה מכל ארבע פינות הגינה." האם תוכלו לחשב את שטח הגינה?
  נושאים:

  גאומטריה -> חשבון שטחים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים אלגברה -> משוואות אלגברה -> בעיות מילוליות

• שאלה 183 - ציור ספירלה

  אם תחזיקו את הדף אופקית ותסובבו אותו במהירות תוך כדי התבוננות במרכז הספירלה, היא תיראה כאילו היא מסתובבת. ייתכן שקוראים רבים מכירים את האשליה האופטית הקטנה הזו. אבל החידה היא להראות כיצד הצלחתי לצייר את הספירלה הזו בדיוק כה רב מבלי להשתמש בדבר מלבד זוג מחוגות ודף הנייר שעליו נעשה הדיאגרמה. איך הייתם פועלים בנסיבות כאלה?
  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים

• שאלה 184 - איך לצייר אליפסה

  האם תוכלו לצייר אליפסה מושלמת על דף נייר במשיכה אחת של המצפן? זה אחד הדברים הקלים בעולם כשאתם יודעים איך.
  נושאים:

  גאומטריה

• שאלה 185 - הדגל של סנט ג'ורג'

  במהלך חגיגה של הפסטיבל הלאומי של יום סנט ג'ורג', התבוננתי בדגל המוכר של הפטרון של ארצנו. כולנו מכירים את הצלב האדום על רקע לבן, כפי שמוצג באיור שלנו. זהו הדגל של סנט ג'ורג'. הדגל של סנט אנדרו (סקוטלנד) הוא "הצלב של סנט אנדרו" לבן על רקע כחול. הדגל של סנט פטריק (אירלנד) הוא צלב דומה באדום על רקע לבן. שלושתם מאוחדים לאחד כדי ליצור את היוניון ג'ק שלנו.

  עכשיו, בהתבוננות בדגל של סנט ג'ורג', עלתה בדעתי השאלה הבאה שיכולה להוות חידה קטנה אך נחמדה. נניח שהדגל מודד ארבע רגליים על שלוש רגליים, כמה רחבה צריכה להיות זרוע הצלב אם נדרש להשתמש בדיוק באותה כמות של בד אדום ולבן?

  

  נושאים:

  גאומטריה -> חשבון שטחים אלגברה -> בעיות מילוליות

• שאלה 186 - חידת חבל הכביסה

  ילד קשר חבל כביסה מראש כל אחד משני עמודים לבסיס של השני. לאחר מכן הוא הציע לאביו את השאלה הבאה. אם עמוד אחד היה בדיוק שבעה רגל מעל הקרקע והשני בדיוק חמישה רגל, מה היה הגובה מהקרקע שבו שני החבלים הצטלבו זה בזה?
  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור אלגברה -> משוואות אלגברה -> בעיות מילוליות

• שאלה 187 - חידת חולבת הפרות

  הנה חידה כפרית קטנה, אשר במבט ראשון עשויה להוביל את הקורא להניח שהיא מעמיקה מאוד, וכוללת חישובים מורכבים. הוא אף עשוי לטעון שאי אפשר לתת תשובה כלשהי אלא אם כן נאמר לנו משהו מוגדר לגבי המרחקים. ובכל זאת היא ממש "ילדותית ותמימה."

   

  בפינת שדה נראית חולבת חולבת פרה, ובצד השני של השדה נמצאת המחלבה, לשם יש להעביר את החלב. אבל שמו לב שהאישה הצעירה תמיד יורדת לנהר עם הדלי שלה לפני שהיא חוזרת למחלבה. כאן הקורא החשדן אולי ישאל מדוע היא מבקרת בנהר. אני יכול רק לענות שזה לא ענייננו. החלב לכאורה מיועד כולו לצריכה מקומית.

  "לאן את הולכת, עלמה יפה שלי?"
  "לנהר, אדוני," היא אמרה.
  "אני לא אבחר את המחלבה שלך, עלמה יפה שלי."
  "אף אחד לא שאל אותך, אדוני," היא אמרה.

  
  

  אם למישהו הייתה סקרנות בעניין, רוח עצמאית כזו תנטרל אותו לחלוטין. אז נעבור מנקודת המבט של מוסר מסחרי לנושא החידה.

  מתחו קו משרפרף החליבה אל הנהר ומשם אל דלת המחלבה, אשר יציין את המסלול הקצר ביותר האפשרי עבור החולבת. זה הכל. קל מאוד לציין את הנקודה המדויקת על גדת הנהר שאליה עליה לכוון את צעדיה אם היא רוצה את ההליכה הקצרה ביותר האפשרית. האם אתה יכול למצוא את הנקודה הזו?

  נושאים:

  בעיות מינימום ומקסימום גאומטריה -> גאומטריה במישור -> העתקות של מישור -> העתקות חפיפה (איזומטריות) -> שיקוף

• שאלה 188 - בעיית הכדור

   

  יום אחד, סתת היה עסוק בחיתוך כדור עגול לצורך קישוט ארכיטקטוני, כשנער חכם הגיע למקום.

  "תראה," אמר הסתת, "נראה שאתה בחור פיקח, תוכל להגיד לי את זה? אם אניח את הכדור הזה על הקרקע הישרה, כמה כדורים אחרים באותו גודל אוכל להניח סביבו (גם על הקרקע) כך שכל כדור ייגע בכדור הזה?"

  הילד מיד נתן את התשובה הנכונה, ואז הפנה לסתת את השאלה הקטנה הזו:—

  "אם שטח הפנים של הכדור הזה הכיל בדיוק אותו מספר של רגל רבוע כמו שנפחו הכיל רגל מעוקב, מה יהיה אורך הקוטר שלו?"

  הסתת לא הצליח לתת תשובה. האם הייתם יכולים לענות נכון לשאלות של הסתת והילד?

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במרחב גאומטריה -> חשבון שטחים

• שאלה 189 - אחוזות יורקשייר

   

  ביקרתי באחת הערים הגדולות של יורקשייר. בדרכי לתחנת הרכבת ביום עזיבתי, אדם דחף לי עלון, לקחתי אותו לקרון הרכבת וקראתי אותו בשעות הפנאי שלי. הוא הודיע לי ששלוש אחוזות שכנות ביורקשייר מוצעות למכירה. כל אחוזה הייתה בצורת ריבוע, והן הצטרפו זו לזו בפינותיהן, בדיוק כפי שמוצג בתרשים. אחוזה A מכילה בדיוק `370` אקרים, B מכילה `116` אקרים, ו-C `74` אקרים.

  כעת, פיסת הקרקע המשולשת הקטנה התחומה על ידי שלוש האחוזות הריבועיות לא הוצעה למכירה, ומסיבה לא מיוחדת, התעוררתי לסקרנות לגבי שטח החלקה הזו. כמה אקרים היא הכילה?

  נושאים:

  גאומטריה -> חשבון שטחים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משפט פיתגורס

• שאלה 190 - האחוזה של החוואי וורצל

   

  אציג כעת בעיית שטח נוספת. ההדגמה של התשובה שאציג, אני חושב, תימצא גם מעניינת וגם קלה להבנה.

  החוואי וורצל היה הבעלים של שלושה שדות מרובעים כפי שמוצג בתוכנית המצורפת, המכילים בהתאמה `18, 20`, ו-`26` אקרים. כדי להקיף את רכושו בגדר טבעת, הוא קנה את ארבעת השדות המשולשים המפרידים. החידה היא לגלות מה היה אז השטח הכולל של האחוזה שלו.

  נושאים:

  גאומטריה -> חשבון שטחים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משפט פיתגורס