האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, שלב ב

• שאלה מהמקורות: כיתות ג-ד(1) - השולחן העגול

  סביב שולחן עגול 12 כיסאות, על חלק מהכיסאות יושבים אבירים. ארתור רוצה להצטרף לישיבה,
  ומסתבר שלא משנה איפה הוא ישב, בוודאות מישהו יושב לידו.
  מהו המספר הקטן ביותר של אבירים שיכולים להיות סביב השולחן כדי שזה בוודאות יתקיים? (לא כולל ארתור)

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים לוגיקה -> הגיון הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, שלב ב, כיתות ג-ד שאלה 1

• שאלה מהמקורות: כיתות ג-ד(2), כיתות ה-ו(2) - שתי סולמיות

  מהו המספר המרבי של צורות "דומינו" (מלבנים `1 times 2` או `2 times 1`) שניתן למקם בתוך הצורה הכתומה,
  כך שהם לא יעלו אחד על השני ולא יחרגו מחוץ לגבולות הצורה?

  

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> אינווריאנטים קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים בעיות מינימום ומקסימום קומבינטוריקה -> צביעות -> צביעת שחמט קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> גאומטריה על נייר משבצות
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, שלב ב, כיתות ג-ד שאלה 2
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, שלב ב, כיתות ה-ו שאלה 1

• שאלה מהמקורות: כיתות ג-ד(3) - אבני דומינו

  אבן דומינו היא מלבן המורכב משני ריבועים, על כל אחד מהריבועים מסומנות נקודות.
  מספר הנקודות על כל ריבוע יכול להיות מ-0 עד 6, וכל צירוף של זוג מספרים נמצא פעם אחת בדיוק (ללא חשיבות לסדר).
  סך הכל יש במשחק 28 אבנים. כמה נקודות יש על האבנים האלה בסך הכל?

  נושאים:

  אריתמטיקה קומבינטוריקה
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, שלב ב, כיתות ג-ד שאלה 3

• שאלה מהמקורות: כיתות ג-ד(5), כיתות ה-ו(5) - המאפייה

  בבוקר במחסן של מאפייה היו 135 קילוגרמים של קמח ו-92 קילוגרמים של סוכר.
  לאפיית עוגה אחת, האופה משתמש בקילוגרם אחד של קמח וקילוגרם אחד של סוכר.
  בסיום יום העבודה כמות הקמח שנשארה לאופה הייתה פי שתיים גדולה יותר מכמות הסוכר שנשארה.
  כמה עוגות הכין האופה תוך יום העבודה?

  נושאים:

  אלגברה -> משוואות אלגברה -> בעיות מילוליות
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, שלב ב, כיתות ג-ד שאלה 5
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, שלב ב, כיתות ה-ו שאלה 2

• שאלה מהמקורות: כיתות ג-ד(6), כיתות ה-ו(6) - המספר

  נתון מספר שלם חיובי שקטן מ-2000.
  אם הוא לא מתחלק ב-43 אז הוא מתחלק ב-41,
  אםהוא לא מתחלק ב-53 אז הוא מתחלק ב-43,
  אם הוא לא מתחלק ב-41 אז הוא מתחלק ב-53.
  מצאו את המספר.

  נושאים:

  תורת המספרים -> מספרים ראשוניים אריתמטיקה תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה לוגיקה -> הגיון תורת המספרים -> המחלק המשותף המקסימלי והכפולה המשותפת המינימלית קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים תורת המספרים -> חלוקה
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, שלב ב, כיתות ג-ד שאלה 6
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, שלב ב, כיתות ה-ו שאלה 4

• שאלה מהמקורות: כיתות ג-ד(1), כיתות ה-ו(1) - שתי סולמיות

  מהו המספר המרבי של צורות "דומינו" (מלבנים `1 times 2` או `2 times 1`) שניתן למקם בתוך הצורה הכתומה,
  כך שהם לא יעלו אחד על השני ולא יחרגו מחוץ לגבולות הצורה?

  

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> אינווריאנטים קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים בעיות מינימום ומקסימום קומבינטוריקה -> צביעות -> צביעת שחמט קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> גאומטריה על נייר משבצות
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, שלב ב, כיתות ג-ד שאלה 2
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, שלב ב, כיתות ה-ו שאלה 1

• שאלה מהמקורות: כיתות ג-ד(2), כיתות ה-ו(2) - המאפייה

  בבוקר במחסן של מאפייה היו 135 קילוגרמים של קמח ו-92 קילוגרמים של סוכר.
  לאפיית עוגה אחת, האופה משתמש בקילוגרם אחד של קמח וקילוגרם אחד של סוכר.
  בסיום יום העבודה כמות הקמח שנשארה לאופה הייתה פי שתיים גדולה יותר מכמות הסוכר שנשארה.
  כמה עוגות הכין האופה תוך יום העבודה?

  נושאים:

  אלגברה -> משוואות אלגברה -> בעיות מילוליות
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, שלב ב, כיתות ג-ד שאלה 5
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, שלב ב, כיתות ה-ו שאלה 2

• שאלה מהמקורות: כיתות ה-ו(3) - שלב לבש בלש

  בביטוי הבא אותיות שונות מסמנות ספרות שונות, ואותיות זהות מסמנות ספרות זהות:

  שלב = לבש + בלש

  מצאו את המספר שלב.

  נושאים:

  אריתמטיקה תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה -> סימן חלוקה ב-11 אלגברה -> משוואות קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים חידות ורבוסים -> שחזרו את התרגיל
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, שלב ב, כיתות ה-ו שאלה 3

• שאלה מהמקורות: כיתות ג-ד(4), כיתות ה-ו(4) - המספר

  נתון מספר שלם חיובי שקטן מ-2000.
  אם הוא לא מתחלק ב-43 אז הוא מתחלק ב-41,
  אםהוא לא מתחלק ב-53 אז הוא מתחלק ב-43,
  אם הוא לא מתחלק ב-41 אז הוא מתחלק ב-53.
  מצאו את המספר.

  נושאים:

  תורת המספרים -> מספרים ראשוניים אריתמטיקה תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה לוגיקה -> הגיון תורת המספרים -> המחלק המשותף המקסימלי והכפולה המשותפת המינימלית קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים תורת המספרים -> חלוקה
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, שלב ב, כיתות ג-ד שאלה 6
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, שלב ב, כיתות ה-ו שאלה 4

• שאלה מהמקורות: כיתות ה-ו(5) - לוח ציור

  לצייר יש לוח משבצות `10 times 10`. בכל פעם הצייר בוחר שורה או עמודה וצובע את כולה בצבע לבחירתו.
  אם הוא עובר עם צבע חדש על משבצת שכבר נצבעה, הצבע החדש מכסה את הצבע הישן במלואו,
  כלומר, צבע המשבצת מתחלף.
  מהו המספר הגדול ביותר של צבעים שנוכל לראות על הלוח הזה?

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים קומבינטוריקה -> צביעות
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, שלב ב, כיתות ה-ו שאלה 5