תורת המספרים, חלוקה

חילוק היא אחת מארבע פעולות החשבון הבסיסיות, המייצגת חלוקת כמות לחלקים שווים או מציאת מספר הפעמים שמספר אחד מוכל באחר. שאלות כוללות ביצוע חילוק, הבנת מושגים כמו מחולק, מחלק, מנה ושארית, ופתרון בעיות מילוליות קשורות.

• שאלה

  האם קיים ריבוע שלם שסכום ספרותיו שווה ל-`2001`?

  נמקו או הביאו דוגמה!

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה -> סימני חלוקה ב-3 וב-9 תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות תורת המספרים -> מספרים ראשוניים -> פרוק לגורמים ראשוניים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• עלי באבא וארבעים השודדים

  עלי באבא רשם על הדף מספר `17`. ארבעים השודדים מעבירים את הדף זה לזה וכל אחד או מוסיף `1` למספר הקיים, או מחסיר `1`, עד שכל אחד מהם ביצע זאת פעם אחד, ואז מחזירים את הדף לעלי באבא.

  האם יתכן שעכשיו על הדף רשום מספר `40`?

  נושאים:

  אריתמטיקה קומבינטוריקה -> אינווריאנטים לוגיקה -> הגיון תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• שאלה

  האם יתכן שסכום של שלושה מספרים טבעיים יתחלק בכל אחד מהם?

  נושאים:

  אריתמטיקה תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• שאלה

  מצאו את כל הזוגות של מספרים ראשוניים שההפרש שלהם שווה ל-`17`.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים -> מספרים ראשוניים לוגיקה -> הגיון תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• שאלה

  הוכיחו כי מכפלה של שלושה מספרים עוקבים מתחלקת ב-`6`.

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות תורת המספרים -> מספרים ראשוניים -> פרוק לגורמים ראשוניים

• שאלה

  הוכיחו לי לכל מספר ראשוני `p>3 ` מתקיים:`p^2-1` מתחלק ב-`6`.

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה אלגברה -> טכניקה אלגברית -> נוסחאות כפל מקוצר תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות הוכחה ודוגמה תורת המספרים -> מספרים ראשוניים -> פרוק לגורמים ראשוניים

• שאלה

  פרש שח יצא מהמשבצת `a1`, ותוך מספר מהלכים חזר לאותה המשבצת.

  האם יתכן שהפרש ביצע מספר אי-זוגי של מהלכים?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  קומבינטוריקה -> אינווריאנטים לוגיקה -> הגיון תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות קומבינטוריקה -> צביעות -> צביעת שחמט

• שאלה

  פרש שח יצא מהמשבצת `a1` והגיע למשבצת `h8`. האם יתכן שבדרך הוא ביקר בכל משבצות הלוח בדיוק פעם אחת?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  קומבינטוריקה -> ספירה כפולה קומבינטוריקה -> אינווריאנטים קומבינטוריקה -> תורת הגרפים לוגיקה -> הגיון תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה קומבינטוריקה -> צביעות -> צביעת שחמט

• שאלה

  כל בן אדם שחי אי פעם בכדור ארץ, ביצע מספר מסוים של לחיצות ידיים (כולל 0). הוכיחו כי כמות האנשים שביצעו מספרים אי-זוגיים של לחיצות ידיים – זוגית.

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> ספירה כפולה קומבינטוריקה -> תורת הגרפים תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• שאלה

  הארץ הקסומה מורכבת מ-`25` מחוזות. האם יתכן שכל מחוז גובל במספר אי זוגי של מחוזות אחרים?

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> ספירה כפולה קומבינטוריקה -> תורת הגרפים תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה קומבינטוריקה -> צביעות