אלגברה, משוואות

משוואה היא טענה ששני ביטויים מתמטיים שווים. פתרון משוואה כולל מציאת ערכי המשתנים שהופכים את הטענה לאמיתית. שאלות מכסות סוגים שונים: לינאריות, ריבועיות, פולינומיאליות, רציונליות, רדיקליות ומערכות משוואות.

משוואות דיופנטיות

  • סעודת האופניים

    זה היה בחופשת הבנק האחרונה, כך סיפרו לי,
    כמה רוכבי אופניים רכבו בחוץ במזג אוויר נפלא.
    נחו בצהריים בתוך טברנה עתיקה,
    כולם הסכימו לערוך יחד סעודה.
    "תכניסו הכל לחשבון אחד, בעל הבית," הם אמרו,
    "כי כל אחד ישלם חלק שווה."
    החשבון הונח מיד על השולחן,
    וארבעה פאונד היה החשבון באותו יום.
    אבל, עצוב לציין, כשניגשו ליישר,
    התגלה ששניים התגנבו החוצה וברחו.
    אז, עבור שני שילינג יותר מחלקו הראוי,
    כל איש ישר שנשאר נאלץ לשלם.
    הם הסתדרו אחר כך עם הנבלים האלה, בלי ספק.
    כמה מהם היו כשיצאו לדרך לראשונה?
    מקורות:

  • כסף ריבועי

    "זה מוזר", אמר מק'קראנק לחברו. "שני פני בתוספת שני פני הם ארבעה פני, ושני פני כפול שני פני הם גם ארבעה פני." כמובן, הוא טעה לחשוב שאפשר להכפיל כסף בכסף. יש להתייחס לכופל כמספר מופשט. נכון ששני רגל כפול שני רגל יהפכו לארבעה רגל מרובע. באופן דומה, שני פני כפול שני פני יניבו ארבעה פני מרובעים! וזה יבלבל את הקורא לומר מהו "פני מרובע". אבל נניח לצורך החידה שלנו ששני פני כפול שני פני הם ארבעה פני. עכשיו, אילו שני סכומי כסף יניבו את התוצאה הקטנה האפשרית הבאה, זהה בשני המקרים, כאשר הם מתווספים או מוכפלים בצורה זו? שני הסכומים לא צריכים להיות דומים, אבל הם חייבים להיות כאלה שאפשר לשלם במטבעות הנוכחיים של הממלכה. מקורות:

  • קופסאות הכסף המבלבלות

    לארבעה אחים—ששמותיהם ג'ון, ויליאם, צ'ארלס ותומאס—הייתה לכל אחד קופסת כסף. הקופסאות ניתנו להם באותו יום, והם מיד הכניסו לתוכן את הכסף שהיה להם; רק מכיוון שהקופסאות לא היו גדולות במיוחד, הם קודם כל המירו את הכסף למספר המועט ביותר של מטבעות אפשרי. לאחר שעשו זאת, הם סיפרו זה לזה כמה כסף חסכו, והתברר שאם לג'ון היו `2`s. יותר בקופסה שלו ממה שיש לו כרגע, אם לוויליאם היו `2`s. פחות, אם לצ'ארלס היה פי שניים, ואם לתומאס היה חצי ממה שהיה לו, לכולם היה בדיוק אותו הסכום. כעת, כשאני מוסיף שכל ארבע הקופסאות יחד הכילו `45`s., ושבסך הכל היו בהן רק שישה מטבעות, זה הופך לחידה משעשעת לגלות אילו מטבעות היו בכל קופסה. מקורות:

  • ארוחות ערב בערב השנה החדשה

    בעל בית קפה קטן בלונדון נתן לי כמה נתונים מעניינים. הוא אומר שהגברות שמגיעות לבד למקום שלו לנשנש מוציאות בממוצע שמונה עשר פני, שהגברים הלא מלווים מוציאים חצי כתר כל אחד, וכאשר ג'נטלמן מביא גברת הוא מוציא חצי גיניאה. בערב השנה החדשה הוא סיפק ארוחות ערב לעשרים וחמישה אנשים, והרוויח בסך הכל חמישה פאונד. כעת, בהנחה שהממוצעים שלו היו תקפים בכל מקרה, איך הורכבה החברה שלו באותו אירוע? כמובן, רק גברים רווקים, נשים רווקות וזוגות (גברת וג'נטלמן) יכולים היו להיות נוכחים, מכיוון שאיננו מתייחסים למסיבות גדולות יותר. מקורות:

  • בשר ונקניקיות

    "שכנה שלי," אמרה הדודה ג'יין, "קנתה כמות מסוימת של בשר בקר בשני שילינג לפאונד, ואותה כמות של נקניקיות בשמונה עשר פני לפאונד. ציינתי בפניה שאם היא הייתה מחלקת את אותו כסף שווה בשווה בין בשר בקר ונקניקיות, היא הייתה מרוויחה שני פאונד במשקל הכולל. האם תוכלי לומר לי בדיוק כמה היא הוציאה?"

    "כמובן, זה לא ענייני," אמרה גברת סאניבורן; "אבל גברת שיכולה לשלם מחירים כאלה חייבת להיות קצת חסרת ניסיון בכלכלת בית."

    "אני מסכימה בהחלט, יקירתי," ענתה הדודה ג'יין, "אבל את רואה שזאת לא הנקודה המדויקת בדיון, יותר מאשר השם והמוסר של בעל המקצוע."

    מקורות:

  • עסקת ביצים

    אדם נכנס לאחרונה לחנות חלבן כדי לקנות ביצים. הוא רצה ביצים באיכויות שונות. למוכר היו ביצים טריות במחיר הגבוה של חמישה פני כל אחת, ביצים רגילות בפני אחד כל אחת, ביצים בחצי פני כל אחת, וביצים למטרות בחירות במחיר מופחת מאוד, אך מכיוון שלא היו בחירות באותה תקופה לקונה לא היה צורך באחרונות. עם זאת, הוא קנה כמה מכל אחד משלושת הסוגים האחרים וקיבל בדיוק מאה ביצים בשמונה שילינג וארבעה פני. כעת, מכיוון שהוא לקח בדיוק את אותו מספר ביצים משתיים משלוש האיכויות, זוהי חידה מעניינת לקבוע כמה הוא קנה מכל מחיר. מקורות:

  • כסף סיני

    הסינים הם אנשים מוזרים, ויש להם דרכים הפוכות משונות לעשות דברים. אומרים שהם משתמשים במסור עם לחץ כלפי מעלה במקום כלפי מטה, שהם מקציעים קרש עץ על ידי משיכת הכלי לעברם במקום לדחוף אותו, ובבניית בית הם בונים תחילה את הגג, ולאחר שהרימו אותו למקומו, ממשיכים לעבוד כלפי מטה. בכסף, המטבע של המדינה מורכב מטאלים בעלי ערך משתנה. הטאֶל נעשה דק יותר ויותר עד ש-`2,000` מהם שנערמו יחד היו פחות משלושה אינץ' בגובהם. הכסף הנפוץ מורכב ממטבעות פליז בעוביים משתנים, עם חור עגול, מרובע או משולש במרכז, כפי שמוצג באיור שלנו. אלה מושחלים על חוטים כמו כפתורים. נניח שאחד עשר מטבעות עם חורים עגולים שווים חמישה עשר צ'ינג-צ'אנגים, שאחד עשר עם חורים מרובעים שווים שישה עשר צ'ינג-צ'אנגים, ושאחד עשר עם חורים משולשים שווים שבעה עשר צ'ינג-צ'אנגים, איך יכול סיני לתת לי עודף עבור חצי כתר, תוך שימוש רק במטבעות משלושת הסוגים שהוזכרו? צ'ינג-צ'אנג אחד שווה בדיוק שני פני וארבע חלקי חמש עשרה מצ'ינג-צ'אנג. מקורות:

  • החידה של הפקיד הזוטר

    שני צעירים, שנשאו את השמות הנעימים מוגס וסנוגס, הועסקו כפקידים זוטרים על ידי סוחר במינסינג ליין. שניהם הועסקו באותו שכר—כלומר, החל משיעור של £`50` לשנה, לתשלום חצי שנתי. למוגס הייתה עלייה שנתית של £`10`, ולסנוגס הוצע אותו הדבר, רק שהוא ביקש, מסיבות שאינן נוגעות לחידה שלנו, שהוא יוכל לקבל את העלייה שלו ב£`2, 10`s. חצי שנתי, שלכך המעסיק שלו (אולי, באופן טבעי!) לא התנגד.

    כעת אנו מגיעים לנקודה האמיתית של החידה. מוגס הכניס בקביעות לבנק הדואר סכום מסוים ממשכורתו, בעוד סנוגס חסך פי שניים חלק גדול יותר ממשכורתו, ובסוף חמש שנים הם חסכו ביחד £`268, 15`s. כמה חסך כל אחד? ניתן להתעלם משאלת הריבית.

    מקורות:

  • כלכלה ביתית

    גברת פרקינס הצעירה, מפטני, כותבת לי כדלקמן: "אודה לך מאוד אם תוכל לתת לי את התשובה לתרגיל קטן שמטריד אותי מאוד לאחרונה. הנה הוא: אנחנו נשואים רק זמן קצר, ועכשיו, בתום שנתיים מהזמן שהקמנו משק בית, בעלי אומר לי שהוא מגלה שהוצאנו שליש מההכנסה השנתית שלו על שכר דירה, ארנונה ומסים, חצי על הוצאות משק בית ותשיעית בדרכים אחרות. יש לו יתרה של £`190` שנותרה בבנק. אני יודעת את זה, כי הוא השאיר בטעות את פנקס החשבון שלו אתמול, והצצתי לתוכו. אתה לא חושב שבעל צריך לתת לאשתו את כל הביטחון שלו בענייני הכסף שלו? ובכן, אני כן; ו—תאמין לזה?—הוא מעולם לא אמר לי מה ההכנסה שלו באמת, ואני רוצה, באופן טבעי מאוד, לגלות. אתה יכול להגיד לי מה זה מהמספרים שנתתי לך?"

    כן; ניתן בהחלט לתת את התשובה מהמספרים הכלולים במכתבה של גברת פרקינס. והקוראים שלי, אם לא יוזהרו, יהיו כמעט פה אחד בהצהרה שההכנסה היא—משהו מופרך לחלוטין מעל התשובה הנכונה!

    מקורות:

  • החידה של ירקן הירקות

    "כמה שילמת על התפוזים האלה, ביל?"

    "אני לא הולך לספר לך, ג'ים. אבל הורדתי את הזקן בארבעה פני למאה."

    "מה זה עזר לך?"

    "ובכן, זה אומר חמישה תפוזים נוספים על כל עשרה שילינג."

    עכשיו, איזה מחיר שילם ביל בפועל על התפוזים? יש רק תעריף אחד שיתאים להצהרות שלו.

    מקורות: