אלגברה, משוואות

משוואה היא טענה ששני ביטויים מתמטיים שווים. פתרון משוואה כולל מציאת ערכי המשתנים שהופכים את הטענה לאמיתית. שאלות מכסות סוגים שונים: לינאריות, ריבועיות, פולינומיאליות, רציונליות, רדיקליות ומערכות משוואות.

משוואות דיופנטיות

  • גיל של אמא

    טומי: "בת כמה את, אמא?"

    אמא: "תן לי לחשוב, טומי. ובכן, שלושת הגילאים שלנו מסתכמים בדיוק לשבעים שנה."

    טומי: "זה הרבה, לא? ובן כמה אתה, אבא?"

    אבא: "פי שישה ממך, בני."

    טומי: "האם אי פעם אהיה בחצי מהגיל שלך, אבא?"

    אבא: "כן, טומי; וכאשר זה יקרה שלושת הגילאים שלנו יסתכמו בדיוק כפול ממה שהם היום."

    טומי: "ונניח שנולדתי לפניך, אבא; ונניח שאמא שכחה הכל, ולא הייתה בבית כשבאתי; ונניח——"

    אמא: "נניח, טומי, שנדבר על מיטה. בוא, יקירי. יהיה לך כאב ראש."

    עכשיו, אם טומי היה מבוגר בכמה שנים, הוא היה יכול לחשב את הגילאים המדויקים של הוריו מהמידע שהם נתנו לו. האם תוכלו לגלות את הגיל המדויק של אמא?

    מקורות:

  • הגילים שלהם

    "גילו של בעלי," העירה גברת אחת לאחרונה, "מיוצג על ידי הספרות של גילי שלי בהיפוך. הוא מבוגר ממני, וההפרש בין הגילים שלנו הוא אחד חלקי אחד-עשר מסכום הגילים שלנו." מקורות:

  • גילאי המשפחה

    כשמשפחת סמיילי קיבלה לאחרונה ביקור מהדוד האהוב, ההורים המסורים הביאו את כל חמשת הילדים לנוכחותו. ראשון הגיע בילי וגרטרוד הקטנה, והדוד קיבל מידע שהילד מבוגר בדיוק פי שניים מהילדה. אחר כך הגיעה הנרייטה, וצוין שגילאיה המשותפים שלה ושל גרטרוד שווים פי שניים מגילו של בילי. אז צ'רלי בא בריצה, ומישהו העיר שעכשיו הגילאים המשותפים של שני הבנים היו בדיוק פי שניים מהגילאים המשותפים של שתי הבנות. הדוד הביע את תדהמתו מהצירופי מקרים הללו כאשר ג'נט נכנסה. "אה! דוד," היא קראה, "בעצם הגעת ביום הולדתי העשרים ואחד!" לכך הוסיף מר סמיילי את המדהים האחרון: "כן, ועכשיו הגילאים המשותפים של שלוש הבנות שווים בדיוק פי שניים מהגילאים המשותפים של שני הבנים." האם תוכלו לתת את גילו של כל ילד? מקורות:

  • גילה של גברת טימפקינס

    אדווין: "הידעת שלפני שמונה עשרה שנה, כשמשפחת טימפקינס נישאו, טימפקינס היה מבוגר פי שלושה מאשתו, והיום הוא מבוגר ממנה רק פי שניים?"

    אנג'לינה: "אם כך, בת כמה הייתה גברת טימפקינס ביום החתונה?"

    האם תוכלו לענות על שאלתה של אנג'לינה?

    מקורות:

  • חידת מפקד אוכלוסין

    למר וגברת ג'ורקינס יש חמישה עשר ילדים, כולם נולדו בהפרשים של שנה וחצי. גברת אדה ג'ורקינס, הבכורה, התנגדה למסור את גילה לאיש מפקד האוכלוסין, אך היא הודתה שהיא מבוגרת פי שבעה מג'וני הקטן, הצעיר מכולם. מה היה גילה של אדה? אל תניחו בחיפזון שפתרתם את החידה הקטנה הזו. ייתכן שתגלו שעשיתם טעות גדולה! מקורות:

  • אֵם וּבַת

    "אמא, הלוואי שהיית נותנת לי אופניים," אמרה ילדה בת שתים עשרה אתמול.

    "אני לא חושבת שאת מספיק גדולה עדיין, יקירתי," הייתה התשובה. "כשאני אהיה רק פי שלושה מגילך, תקבלי אחת."

    עכשיו, גילה של האם הוא ארבעים וחמש שנים. מתי הצעירה יכולה לצפות לקבל את המתנה שלה?

    מקורות:

  • מרי ומרמדוק

    מרמדוק: "יקירתי, האם את יודעת שבעוד שבע שנים סכום הגילים שלנו יהיה שישים ושלוש שנים?"

    מרי: "האמנם? ובכל זאת עובדה היא שכאשר היית בגילי הנוכחי, היית מבוגר ממני פי שניים. חישבתי את זה אתמול בלילה."

    אם כך, מהם הגילים של מרי ומרמדוק?

    מקורות:

  • גילו של רובר

    "ובכן, טומי, בן כמה רובר?" שאל הצעיר של מילדרד את אחיה.

    "ובכן, לפני חמש שנים," הייתה תשובת הצעיר, "אחותי הייתה מבוגרת פי ארבעה מהכלב, אבל עכשיו היא רק מבוגרת פי שלושה."

    האם תוכלו לגלות את גילו של רובר?

    מקורות:

  • בעניין גילו של טומי

    טומי סמארט נשלח לאחרונה לבית ספר חדש. ביום הראשון להגעתו, המורה שאל אותו לגילו, וזו הייתה תשובתו המוזרה: "ובכן, אתה מבין, זה ככה. בזמן שנולדתי—אני שוכח את השנה—אחותי היחידה, אן, הייתה בדיוק רבע מגילה של אמא, ועכשיו היא שליש מגילו של אבא." "זה הכל טוב ויפה," אמר המורה, "אבל מה שאני רוצה זה לא הגיל של אחותך אן, אלא הגיל שלך." "בדיוק לזה הגעתי," ענה טומי; "אני רק רבע מגילה הנוכחי של אמא, ותוך ארבע שנים אהיה רבע מגילו של אבא. זה לא מצחיק?"

    זה כל המידע שהמורה הצליח להוציא מטומי סמארט. האם הייתם יכולים לומר, מהעובדות האלה, מה היה גילו המדויק? זה בהחלט קצת מבלבל.

    מקורות:

  • שכנים צמודים

    שתי משפחות גרו זו לצד זו בטוטִיןְג בֶק—משפחת ג'אפ ומשפחת סימקינס. סכום הגילים המשותף של ארבעת בני משפחת ג'אפ הסתכם במאה שנים, וגם סכום הגילים המשותף של בני משפחת סימקינס הסתכם באותו סכום. נמצא שבמקרה של כל משפחה, הסכום המתקבל על ידי הוספת ריבועי הגילים של כל אחד מילדי המשפחה לריבוע גילה של האם שווה לריבוע גילו של האב. במקרה של משפחת ג'אפ, ג'וליה הייתה מבוגרת בשנה אחת מאחיה ג'ו, ואילו סופי סימקין הייתה מבוגרת בשנתיים מאחיה סמי. מה היה גילו של כל אחד משמונת האנשים? מקורות: