אלגברה, משוואות

משוואה היא טענה ששני ביטויים מתמטיים שווים. פתרון משוואה כולל מציאת ערכי המשתנים שהופכים את הטענה לאמיתית. שאלות מכסות סוגים שונים: לינאריות, ריבועיות, פולינומיאליות, רציונליות, רדיקליות ומערכות משוואות.

• שאלה

  ישנם שלושה שקים עם אגוזים. בשק הראשון יש ב-`6` קילו אגוזים פחות מאשר בשני השקים האחרים יחד. בשק השני יש ב-`10` קילו אגוזים פחות מאשר בשני השקים האחרים יחד.

  כמה קילוגרמים של אגוזים יש בשק השלישי?

  נושאים:

  אלגברה -> משוואות אלגברה -> בעיות מילוליות
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• הזבוב החסר מנוח

  ערים A ו-B נמצאות במרחק של 300 קילומטרים זו מזו. שני רוכבי אופניים יוצאים בו-זמנית מ-A ומ-B זה לקראת זה. המהירויות שלהם קבועות ושוות ל-`30` קמ"ש ו-`20` קמ"ש בהתאמה. באותה הרגע מעיר A יצא זבוב שעף במהירות של `100` קמ"ש. הזבוב עוקף את רוכב האופניים הראשון ועף עד שהוא פוגש את רוכב האופניים שיצא מהעיר B. ברגע שהזבוב פוגש את רוכב האופניים. הוא מייד מסתובב ועף בחזרה, עד שהוא פוגש שוב את רוכב האופניים הראשון, ואז הוא שוב מסתובב, וכך הלאה, עד שרוכבי האופניים נפגשו. כמה קילומטרים עבר הזבוב?

  נושאים:

  אריתמטיקה אלגברה -> משוואות לוגיקה -> הגיון אלגברה -> בעיות מילוליות -> בעיות תנועה

• שאלה

  נינה ומאיר יצאו בו-זמנית יחד מביתם והלכו לבקר את סבתא. המסלול מביתם לבית סבתם הוא באורך 3 ק"מ, ולאורכו ממוקמים ספסלים.

  נינה מתיישבת על כל ספסל בדרך כדי לאכול עוגייה אחת. היא אוכלת כל עוגייה במשך אותו מספר שלם של דקות. גם מאיר עוצר ומתיישב על כל ספסל כדי לאכול עוגייה אחת.

  לוקח למאיר פי שתיים יותר זמן מנינה לאכול עוגייה. כמו כן, ידוע כי נינה הולכת במהירות 3 קמ"ש, ומאיר במהירות 4 קמ"ש.

  התברר כי מאיר ונינה הגיעו בו זמנית לבית של סבתא.

  כמה ספסלים היו בדרך? מצאו את כל האפשרויות ונמקו את תשובתכם

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  אריתמטיקה אלגברה -> משוואות אלגברה -> בעיות מילוליות -> בעיות תנועה
  מקורות:
  • אולימפיאדת גיליס, תשע"ו שאלה 1

• שאלה

  נתון מספר טבעי `A`. כשמגדילים אותו ב-`1`, הריבוע שלו גדֵל ב-`1001`. מצאו את `A`.

  נושאים:

  אלגברה -> טכניקה אלגברית -> נוסחאות כפל מקוצר אלגברה -> משוואות

• שאלה

  המספרים הממשיים השונים `x` ו-`y` מקיימים את המשוואה:

  `x^2 – 2000x = y^2 – 2000y`

  מצאו את הסכום של `x` ו-`y`.

  נושאים:

  אלגברה -> טכניקה אלגברית -> נוסחאות כפל מקוצר אלגברה -> משוואות

• שאלה

  פתרו את המשוואה:

  `(x + 2010)(x + 2011)(x + 2012) = (x + 2011)(x + 2012)(x + 2013) `

  נושאים:

  אלגברה -> טכניקה אלגברית אלגברה -> משוואות קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• שאלה

  נתון חרוט (בעל ציר סימטריה במרכזו, המאונך לבסיסו) שגובהו 6 ובסיסו הוא עיגול בעל רדיוס `sqrt2` . בתוך החרוט חסומה קובייה – היא מונחת על בסיס החרוט וכל קדקודיה העליונים נוגעים בחרוט. מצאו את אורך הצלע של הקובייה. נמקו את תשובתכם.

  

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במרחב אלגברה -> משוואות גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משפט פיתגורס גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים -> דמיון משולשים
  מקורות:
  • אולימפיאדת גיליס, תשע"ו שאלה 2

• מטבעות ועוגות

  למרים יש מטבעות של שני שקלים ושל 5 שקלים.

  אם היא תשלם רק במטבעות של 2 שקלים, יהיו חסרים לה 60 שקל לקניית 4 עוגות.

  אם היא תשלם רק במטבעות של 5 שקלים, יהיו חסרים לה 60 שקל לקניית 5 עוגות.

  בסה"כ חסרים לה 60 שקל לקניית 6 עוגות. כמה עולה עוגה?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  אלגברה -> משוואות אלגברה -> בעיות מילוליות
  מקורות:
  • אולימפיאדת בנו ארבל, 2013, כיתה ז שאלה 2

• שאלה

  ידוע כי `a+b-c=6`, `ac+bc-ab=2`. מצאו את `a^2+b^2+c^2`.

  נושאים:

  אלגברה -> טכניקה אלגברית -> נוסחאות כפל מקוצר אלגברה -> משוואות

• שאלה

  . נתונים מספרים ממשיים `a`, `b` ו-`c` שונים מ-`0` ומקיימים: `a+b/c=b+c/a=c+a/b=1`. הוכיחו כי `ab+bc+ca=0`.

  נושאים:

  אלגברה -> טכניקה אלגברית אלגברה -> משוואות