אלגברה, משוואות

משוואה היא טענה ששני ביטויים מתמטיים שווים. פתרון משוואה כולל מציאת ערכי המשתנים שהופכים את הטענה לאמיתית. שאלות מכסות סוגים שונים: לינאריות, ריבועיות, פולינומיאליות, רציונליות, רדיקליות ומערכות משוואות.

• ממוצע הממוצעים 3

  נתבונן בתרשים הבא:

  

  כל מספר בתרשים, שמחובר ל-4 מספרים אחרים, חייב להיות שווה לממוצע שלהם:
  מהו המספר בעיגול שמסומן בסימן שאלה?

  נושאים:

  אלגברה -> משוואות אלגברה -> אי שוויונים -> ממוצעים
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשפ"א, שלב א, כיתה ט שאלה 1

• מקיפים בעיגולים

  נתונים שני משולשים ACE, BDF
  שנחתכים ב-6 נקודות: G,H,I,J,K,L
  כמתואר בציור. נתון כי בכל אחד מהמרובעים
  EFGI ,DELH ,CDKG ,BCJL ,ABIK ניתן לחסום מעגל.
  האם ייתכן שגם במרובע FAHJ ניתן לחסום מעגל?
  

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במרחב גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים אלגברה -> משוואות אלגברה -> אי שוויונים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה גאומטריה -> גאומטריה במישור -> חשבון זוויות
  מקורות:
  • אולימפיאדת גיליס, תש"פ שאלה 5

• משוואות ריבועיות

  פתרו את המשוואות:

  א:`({x^2+6}/{x^2-4})^2=({5x}/{4-x^2})^2`

  ב: `7(x+1/x)-2(x^2+1/x^2)=9`

  ג: `sqrt{x+2sqrt{x-1}}-sqrt{x-2sqrt{x-1}}=2`

  נושאים:

  אלגברה -> משוואות אלגברה -> טכניקה אלגברית -> שורשים
  מקורות:
  • תרגילי הנבחרת הצעירה למדעים, 2024-2025, מטלה 1 שאלה 1

• יחסי התשובות של משוואות ריבועיות

  נתונה משוואה ריבועית `ax^2+bx+c=0` ופתרונותיה הם `x_{1,2}={-b+-sqrt{b^2-4ac}}/{2a}`.

  א: הראו שמתקיימות משוואות וייאטה:`x_1x_2=c/a` `x_1+x_2=-b/a,`.

  ב: הביעו את הביטויים הבאים במונחי a,b,c: `1/{x_1^2}+1/{x_2^2}`  `1/x_1+1/x_2, `  `x_1^3+x_2^3,`  `x_1^2+x_2^2`.

  נושאים:

  אלגברה -> טכניקה אלגברית אלגברה -> משוואות
  מקורות:
  • תרגילי הנבחרת הצעירה למדעים, 2024-2025, מטלה 1 שאלה 3

• הגדלת מלבן

  נתון מלבן במישור. האם יכול להיות שאחרי שכל צלע של המלבן הוגדלה ב 1 ס"מ השטח גדל ב 1 מ"ר? הביאו דוגמא או הוכיחו שזה בלתי אפשרי.

  (אם המלבן הוא 1x5 אז הוא הופך ל 2x6 ואף צלע לא יכולה להיות 0)

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  גאומטריה -> חשבון שטחים אלגברה -> משוואות אלגברה -> בעיות מילוליות
  מקורות:
  • תחרות גרוסמן, 2017, צעירים שאלה 1

• ביטוי שלם

  מצאו את כל ה n השלמים עבורם הביטוי `{(n+2)^4}/{n-1}` מוגדר ושלם.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים אלגברה -> משוואות
  מקורות:
  • תרגילי הנבחרת הצעירה למדעים, 2024-2025, מטלה 1 שאלה 6

• שאלה

  החליפו אותיות בספרות שונות מאפס, כך שתתקבל זהות נכונה. אותיות זהות מסמנות ספרות זהות, אותיות שונות – ספרות שונות; גל, גר הם מספרים דו-ספרתיים שמורכבים מספרות אלו.
  `ל / ג + ל/ר + ל/ב + ל/(רג) + ל/ (ל ג) = ל`

  נושאים:

  תורת המספרים אלגברה -> משוואות אריתמטיקה -> שברים חידות ורבוסים -> שחזרו את התרגיל
  מקורות:
  • אולימפיאדת בנו ארבל, 2019, כיתה ח שאלה 7
  • אולימפיאדת בנו ארבל, 2019, כיתה ט שאלה 6

• שאלה

  בשעה 12:00 מחוגי השעון מתלכדים. כמה זמן יעבור עד שהמחוגים יהיו מאונכים זה לזה בפעם הראשונה? (המחוגים נעים ברציפות, במהירויות קבועות)

  נושאים:

  אלגברה -> משוואות אלגברה -> בעיות מילוליות -> בעיות תנועה גאומטריה -> גאומטריה במישור -> חשבון זוויות
  מקורות:
  • מבחני בחירה ל-IMO בישראל, תשע"א, שלב א שאלה 2

• שאלה

  בקרקעיתו של אגם יש מעיינות המזרימים אליו מים בקצב קבוע. עדר של 183 פילים יכול לרוקן את האגם ביום אחד. עדר של 37 פילים יכול לרוקן אותו בחמישה ימים. כמה זמן ייקח לפיל בודד לרוקן את האגם?

  נושאים:

  אלגברה -> משוואות אלגברה -> בעיות מילוליות
  מקורות:
  • מבחני בחירה ל-IMO בישראל, תשע"א, שלב א שאלה 5

• שאלה

  פונקציה f, אשר מוגדרת בתחום של כל המספרים החיוביים, מקיימת משוואה `2f(x) + f(1/x) = 3x` לכל x חיובי. מצא את הפונקציה.
  נושאים:

  אלגברה -> טכניקה אלגברית אלגברה -> משוואות
  מקורות:
  • מבחני בחירה ל-IMO בישראל, תשע"ב, שלב א שאלה 4