אלגברה, משוואות

משוואה היא טענה ששני ביטויים מתמטיים שווים. פתרון משוואה כולל מציאת ערכי המשתנים שהופכים את הטענה לאמיתית. שאלות מכסות סוגים שונים: לינאריות, ריבועיות, פולינומיאליות, רציונליות, רדיקליות ומערכות משוואות.

משוואות דיופנטיות

  • שלושים ושלוש הפנינים

    "אדם שאני מכיר," אמר טדי ניקולסון במסיבת משפחה מסוימת, "ברשותו מחרוזת של שלושים ושלוש פנינים. הפנינה האמצעית היא הגדולה והטובה מכולן, והשאר נבחרו וסודרו כך, שמתחילים מקצה אחד, כל פנינה עוקבת שווה £`100` יותר מקודמתה, ישר עד לפנינה הגדולה. מהקצה השני הפנינים עולות בערכן ב-£`150` עד לפנינה הגדולה. כל המחרוזת שווה £`65,000`. מה ערכה של הפנינה הגדולה הזו?"

     

    "פנינים ופריטי לבוש אחרים," אמר הדוד וולטר, כשמחיר הפנינה היקרה התגלה, "מזכירים לי את אדם וחווה. הרשויות, ייתכן שאינכם יודעים, חלוקות לגבי מספר התפוחים שנאכלו על ידי אדם וחווה. יש הסבורים שחווה `8` (אכלה) ואדם `2` (גם), סך הכל `10` בלבד. אבל מתמטיקאים מסוימים חישבו זאת אחרת, וטוענים שחווה `8` ואדם סך הכל `16`. עם זאת, החוקרים האחרונים ביותר חושבים שהמספרים הנ"ל שגויים לחלוטין, כי אם חווה `8` ואדם `82`, הסך הכל חייב להיות `90`."

    "טוב," אמר הארי, "נראה לי שאם היו ענקים בימים ההם, כנראה חווה `81` ואדם `82`, מה שייתן סך של `163`."

    "אני לא מרוצה בכלל," אמרה מוד. "נראה לי שאם חווה `81` ואדם `812`, הם צרכו יחד `893`."

    "אני בטוח שכולכם טועים," התעקש מר וילסון, "כי אני חושב שחווה `814` אדם, ואדם `8124` חווה, אז אנחנו מקבלים סך של `8,938`."

    "אבל, תראו," התפרץ הרברט. "אם חווה `814` אדם ואדם `81242` מחייב את חווה, בטח הסך הכל היה `82,056`!"

    בשלב זה הציע הדוד וולטר שהם יניחו לעניין. הוא הצהיר שזה בבירור מה שמתמטיקאים מכנים בעיה בלתי ניתנת להכרעה.

    מקורות:

  • החידה של הפועל

    הפרופסור רקבריין, במהלך אחת משיטוטיו, פגש אדם שחופר בור עמוק.

    "בוקר טוב," הוא אמר. "מה העומק של הבור הזה?"

    "נחש," השיב הפועל. "הגובה שלי הוא בדיוק חמש רגל ועשרה אינץ'."

    "כמה עמוק יותר אתה הולך לחפור?" שאל הפרופסור.

    "אני הולך פי שניים יותר עמוק," הייתה התשובה, "ואז הראש שלי יהיה פי שניים רחוק יותר מתחת לאדמה ממה שהוא נמצא עכשיו מעל האדמה."

    עכשיו רקבריין שואל אם תוכלו לומר מה יהיה העומק של הבור הזה כשהוא יסתיים.

    מקורות:

  • ערימות החציר

    לחקלאי טומפקינס היו חמש ערימות חציר, והוא אמר לעובד שלו, הודג', לשקול אותן לפני שהוא מעביר אותן ללקוח. הטיפש שקל אותן שתיים בכל פעם בכל הדרכים האפשריות, ודיווח לאדונו שהמשקלים בלירות שטרלינג היו `110, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 120`, ו-`121`. עכשיו, איך החקלאי טומפקינס יכול לגלות מהנתונים האלה כמה כל אחת מחמש ערימות החציר שקלה בנפרד? הקורא אולי יחשוב תחילה שהוא צריך לקבל מידע לגבי "איזה זוג הוא איזה זוג", או משהו בסגנון, אבל זה ממש לא הכרחי. האם אתה יכול לתת את חמשת המשקלים הנכונים? מקורות:

  • מר גאבינס בערפל

    מר גאבינס, איש עסקים חרוץ, הוטרד מאוד מערפל לונדוני. תאורת החשמל התקלקלה והוא נאלץ להסתדר כמיטב יכולתו עם שני נרות. הפקיד שלו הבטיח לו שאף על פי ששניהם היו באותו אורך, נר אחד יישרף במשך ארבע שעות והשני במשך חמש שעות. לאחר שעבד זמן מה כיבה את הנרות כשהערפל התפזר, ואז הבחין שמה שנותר מנר אחד היה בדיוק פי ארבעה מאורך מה שנותר מהשני.

    כשחזר הביתה באותו לילה מר גאבינס, שחיבב חידות טובות, אמר לעצמו, "כמובן שאפשר לחשב בדיוק כמה זמן שני הנרות האלה בערו היום. אני אנסה." אבל עד מהרה הוא מצא את עצמו בערפל גרוע יותר מהערפל האטמוספרי. האם יכולתם לעזור לו בדילמה שלו? כמה זמן הנרות בערו?

    מקורות:

  • הבחירות במאדלטאון

    בבחירות הפרלמנטריות האחרונות במאדלטאון נספרו `5,473` קולות. הליברל נבחר ברוב של `18` על פני השמרן, ברוב של `146` על פני העצמאי וברוב של `575` על פני הסוציאליסט. האם תוכל לתת כלל פשוט לחישוב מספר הקולות שנספרו עבור כל מועמד? מקורות:

  • פגישת הסופרג'יסטיות

    בפגישה חשאית שנערכה לאחרונה של סופרג'יסטיות, התגלע חילוקי דעות רציני. זה הוביל לפילוג, ומספר מסוים עזב את הפגישה. "הייתה לי חצי מחשבה לעזוב בעצמי," אמרה יושבת הראש, "ואם הייתי עושה זאת, שני שלישים מאיתנו היו פורשות." "נכון," אמרה חברה אחרת; "אבל אם הייתי משכנעת את חברותיי גברת ווילד וכריסטין ארמסטרונג להישאר, היינו מאבדות רק חצי מהמספר שלנו." האם תוכלו לומר כמה נכחו בפגישה בהתחלה? מקורות:

  • נשות השנה המעוברת

    בשנה מעוברת האחרונה, הנשים לא בזבזו זמן במימוש הפריבילגיה להציע נישואין. אם הנתונים שהגיעו אלי ממקור נסתר נכונים, הרי שהמצב במדינה זו הוא כדלקמן:

    מספר נשים הציעו נישואין פעם אחת כל אחת, מתוכן שמינית היו אלמנות. כתוצאה מכך, מספר גברים עמדו להינשא, מתוכם אחד עשר היו אלמנים. מתוך ההצעות שהוגשו לאלמנים, חמישית נדחו. כל האלמנות התקבלו. שלושים וחמש חלקי ארבעים וארבע מהאלמנות נישאו לרווקים. אלף ומאתיים עשרים ואחת רווקות נדחו על ידי רווקים. מספר הרווקות שהתקבלו על ידי רווקים היה פי שבעה ממספר האלמנות שהתקבלו על ידי רווקים. אלו כל הפרטים שהצלחתי להשיג. עכשיו, כמה נשים הציעו נישואין?

    מקורות:

  • קצירת התירס

    לחקלאי הייתה שדה תירס בצורת ריבוע. התירס היה בשל לקציר, ומכיוון שהיו לו מעט עובדים, הוסכם שהוא ובנו יחלקו את העבודה ביניהם. החקלאי קצר תחילה רצועה ברוחב מוט אחד מסביב לכל הריבוע, ובכך הותיר ריבוע קטן יותר של תירס עומד באמצע השדה. "כעת," אמר לבנו, "קצרתי את החצי שלי מהשדה, ואתה יכול לעשות את החלק שלך." הבן לא היה מרוצה לחלוטין מחלוקת העבודה המוצעת, ומכיוון שמורה הכפר עבר במקרה, הוא פנה לאדם זה כדי שיכריע בעניין. הוא גילה שהחקלאי צדק לחלוטין, בתנאי שלא היה ויכוח על גודל השדה, ובנקודה זו הם הסכימו. האם תוכלו לומר מהו שטח השדה, כפי שהמורה הממולח הצליח לעשות? מקורות:

  • מספרים מוזרים

    למספר `48` יש תכונה מוזרה זו: אם מוסיפים לו `1`, התוצאה היא מספר ריבועי (`49`, הריבוע של `7`), ואם מוסיפים `1` למחצית שלו, מקבלים גם מספר ריבועי (`25`, הריבוע של `5`). כעת, אין גבול למספרים בעלי תכונה מוזרה זו, וזהו פאזל מעניין למצוא עוד שלושה מהם - המספרים הקטנים ביותר האפשריים. מה הם? מקורות:

  • טעות של מדפיס

    במאמר מסוים, מדפיס היה צריך לסדר את הספרות `5^4xx2^3`, אשר כמובן, משמעותו שהחזקה הרביעית של `5` (`625`) צריכה להיות מוכפלת בחזקה השלישית של `2` (`8`), שהמכפלה שלהם היא `5,000`. אבל הוא הדפיס את `5^4xx2^3` כ- `5\ 4\ 2\ 3`, וזה לא נכון. האם תוכלו למקם ארבע ספרות באופן המוצג, כך שזה יהיה נכון באותה מידה אם המדפיס יסדר אותן כראוי או יעשה את אותה טעות?

    מקורות: