אלגברה, משוואות

משוואה היא טענה ששני ביטויים מתמטיים שווים. פתרון משוואה כולל מציאת ערכי המשתנים שהופכים את הטענה לאמיתית. שאלות מכסות סוגים שונים: לינאריות, ריבועיות, פולינומיאליות, רציונליות, רדיקליות ומערכות משוואות.

• שאלה

  האם יש פתרון בטבעיים למשוואה `x^2 + 12 = y^3` כך ש

  א. x זוגי (קל יותר)

  ב. x אי זוגי

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים -> מספרים ראשוניים תורת המספרים -> חשבון השאריות תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה אריתמטיקה -> חילוק עם שארית אלגברה -> משוואות -> משוואות דיופנטיות
  מקורות:
  • תרגילי מינק וחומרים נוספים מאתר תחרות, תשע"ט, תרגיל 3 שאלה 6

• שאלה

  נתונים n,a,b טבעיים ככה ש`3n+1=a^2` וגם `4n+1=b^2` הוכיחו כי

  א. n מתחלק ב 8 (קל יותר)

  ב. n מתחלק ב 56

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה אלגברה -> משוואות -> משוואות דיופנטיות
  מקורות:
  • תרגילי מינק וחומרים נוספים מאתר תחרות, תשע"ט, תרגיל 3 שאלה 5

• כמה פתרונות למשוואה?

  נתונה המשוואה:
  `x^2+2xy+y^2-200x-200y+1900=0`
  כמה פתרונות (x,y) יש למשוואה, כאשר x ו-y
  הם מספרים שלמים מ-1 עד 100 (כולל)?

  נושאים:

  אלגברה -> טכניקה אלגברית אלגברה -> משוואות -> משוואות דיופנטיות
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשפ"א, שלב א, כיתה ט שאלה 5

• כנס מתמטי

  לכנס מתמטי הגיעו 202 משתתפים משלוש מדינות: ישראל, יוון ויפן.
  ביום הראשון, כל זוג משתתפים מאותה מדינה לחצו ידיים. ביום השני, כל זוג משתתפים
  שאחד מהם ישראלי והשני אינו ישראלי לחצו ידיים. ביום השלישי, כל זוג משתתפים שאחד
  מהם ישראלי והשני יווני לחצו ידיים. סך הכול, התרחשו 20200 לחיצות ידיים. כמה
  משתתפים ישראלים היו בכנס?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים קומבינטוריקה אלגברה -> בעיות מילוליות אלגברה -> משוואות -> משוואות דיופנטיות
  מקורות:
  • אולימפיאדת גיליס, תש"פ שאלה 2

• חילוק סופי

  מצאו את כל ה x,y,z,w השלמים שמקיימים `x^2+y^2=3z^2+3w^2 `.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות הוכחה ודוגמה אלגברה -> משוואות -> משוואות דיופנטיות

• חילוק סופי

  מצאו את כל ה x,y,z,w השלמים שמקיימים `x^2+y^2=3z^2+3w^2 `.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה אלגברה -> משוואות -> משוואות דיופנטיות
  מקורות:
  • תרגילי הנבחרת הצעירה למדעים, 2024-2025, מטלה 1 שאלה 5

• שאלה

  מצאו את המספר `c` הקטן ביותר, כך שלמשוואה `3x + 4y = c` יהיו בדיוק 3 פתרונות במספרים שלמים חיוביים.

  נושאים:

  תורת המספרים אלגברה -> משוואות -> משוואות דיופנטיות
  מקורות:
  • אולימפיאדת בנו ארבל, 2019, כיתה ז שאלה 5
  • אולימפיאדת בנו ארבל, 2019, כיתה ח שאלה 2

• שאלה

  מצא את כל הזוגות x ,y של מספרים שלמים, המקיימים את המשוואה `x + y = x^2 + xy + y^2`

  נושאים:

  אלגברה -> טכניקה אלגברית קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים אלגברה -> משוואות -> משוואות דיופנטיות
  מקורות:
  • מבחני בחירה ל-IMO בישראל, תשע"א, שלב א שאלה 8

• צוואה נדיבה

  אדם הותיר הוראות למנהלי העיזבון שלו לחלק פעם בשנה בדיוק חמישים וחמישה שילינגים לעניי הקהילה שלו; אבל הם היו אמורים להמשיך במתנה רק כל עוד הם יכולים לעשות זאת בדרכים שונות, תוך מתן שמונה עשר פני לכל אישה וחצי כתר לכל גבר. במשך כמה שנים אפשר היה לחלק את הצדקה? כמובן, ב"דרכים שונות" הכוונה היא למספר שונה של גברים ונשים בכל פעם.
  נושאים:

  אריתמטיקה אלגברה -> בעיות מילוליות אלגברה -> משוואות -> משוואות דיופנטיות
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 6

• קופסאות חג המולד

  לפני מספר שנים סיפר לי אדם שהוא השקיע מאה מטבעות כסף אנגליות בקופסאות חג המולד, כשנתן לכל אדם את אותו הסכום, וזה עלה לו בדיוק £`1, 10`s. `1`d. האם תוכלו לומר כמה אנשים קיבלו את המתנה, וכיצד הוא הצליח לחלק אותה? הפני המוזר הזה נראה מוזר, אבל הכל בסדר.
  נושאים:

  אריתמטיקה אלגברה -> בעיות מילוליות אלגברה -> משוואות -> משוואות דיופנטיות
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 23