אלגברה, משוואות

משוואה היא טענה ששני ביטויים מתמטיים שווים. פתרון משוואה כולל מציאת ערכי המשתנים שהופכים את הטענה לאמיתית. שאלות מכסות סוגים שונים: לינאריות, ריבועיות, פולינומיאליות, רציונליות, רדיקליות ומערכות משוואות.

משוואות דיופנטיות

  • החידה של האב המנזר

    חידונאי האנגלי הראשון ששמו הגיע אלינו היה איש יורקשייר — לא אחר מאשר אלקווין, אב המנזר מקנטרברי (A.D. `735-804`). הנה חידה קטנה מכתביו, שלפחות מעניינת בשל עתיקותה. "אם `100` בושלים של תירס חולקו בין `100` אנשים באופן שכל גבר קיבל שלושה בושלים, כל אישה שניים, וכל ילד חצי בושל, כמה גברים, נשים וילדים היו שם?"

    כעת, ישנן שש תשובות נכונות שונות, אם נחריג מקרה שבו לא יהיו נשים. אבל נניח שהיו פי חמישה נשים מגברים, אז מה הפתרון הנכון?

    מקורות:

  • המספר הקרוע

    היתה לי לאחרונה תווית ועליה המספר `3\ 0\ 2\ 5` בספרות גדולות. התווית הזו נקרעה בטעות לשניים, כך ש-`30` היה על חתיכה אחת ו-`25` על השנייה, כפי שמוצג באיור. כשבדקתי את החתיכות האלה התחלתי לעשות חישוב, כמעט בלי לשים לב מה אני עושה, ואז גיליתי את המוזרות הקטנה הזו. אם נחבר את ה-`30` ואת ה-`25` ונעלה את הסכום בריבוע, נקבל כתוצאה את המספר המקורי השלם שהיה על התווית! כלומר, `30` ועוד `25` זה `55`, ו-`55` כפול `55` זה `3025`. מוזר, לא? עכשיו, החידה היא למצוא מספר אחר, המורכב מארבע ספרות, שכולן שונות, שאותו ניתן לחלק באמצע ולקבל את אותה תוצאה.

    מקורות:

  • בעיה בריבועים

    יש ברשותנו שלושה לוחות מרובעים. שטח הפנים של הראשון מכיל חמישה רגל רבוע יותר מהשני, והשני מכיל חמישה רגל רבוע יותר מהשלישי. האם תוכלו לתת מידות מדויקות עבור צלעות הלוחות? אם תוכלו לפתור את החידה הקטנה הזו, נסו למצוא שלושה ריבועים בסדרה חשבונית, עם הפרש קבוע של `7` וגם של `13`. מקורות:

  • קרב הייסטינגס

    כל ההיסטוריונים יודעים שיש מידה רבה של מסתורין וחוסר ודאות בנוגע לפרטי הקרב הבלתי נשכח לעולם באותו יום גורלי, `14` באוקטובר `1066`. החידה שלי עוסקת בקטע מוזר בכרוניקה נזירית עתיקה שאולי לעולם לא תקבל את תשומת הלב הראויה לה, ואם אינני יכול לערוב לאותנטיות של המסמך, הוא בכל זאת ישמש אותנו כדי לספק לנו בעיה שקשה שלא תעניין את אותם קוראים שלי שיש להם נטיות אריתמטיות. הנה הקטע המדובר.

    "אנשיו של הרולד עמדו יחד היטב, כמנהגם, ויצרו שישים ואחת ריבועים, עם מספר שווה של אנשים בכל ריבוע מהם, ואוי לנורמני האמיץ שהעז להיכנס למעוזיהם; שכן מכה בודדת של גרזן מלחמה סקסוני תשבור את חניתו ותחתוך את מעיל השרשראות שלו.... כאשר הרולד השליך את עצמו לתוך המהומה, הסקסונים היו ריבוע אדיר אחד של אנשים, שצועקים את קריאות הקרב, 'Ut!' 'Olicrosse!' 'Godemitè!'"

    כעת, אני מגלה שכל הרשויות העכשוויות מסכימות שהסקסונים אכן נלחמו בסדר מוצק זה. לדוגמה, ב"Carmen de Bello Hastingensi," שיר המיוחס לגאי, הבישוף של אמיין, שחי בתקופת הקרב, נאמר לנו ש"הסקסונים עמדו קבועים במסה צפופה," והנרי מהנטינגדון רושם ש"הם היו כמו טירה, בלתי חדירים לנורמנים;" בעוד רוברט וייס, כעבור מאה שנה, מספר לנו את אותו הדבר. אז מבחינה זו הכרוניקה החדשה שלי עשויה שלא לטעות כל כך. אבל יש לי סיבה להאמין שמשהו לא בסדר עם המספרים בפועל. תן לקורא לראות מה הוא יכול לעשות מהם.

    מספר האנשים יהיה שישים ואחת פעמים מספר ריבועי; אבל כאשר הרולד עצמו הצטרף למהומה, הם הצליחו ליצור ריבוע גדול אחד. מהו המספר הקטן ביותר האפשרי של אנשים שיכולים היו להיות שם?

    כדי להבהיר לקורא את הפשטות של השאלה, אתן את הפתרונות הנמוכים ביותר במקרה של `60` ו-`62`, המספרים שמיד לפני ואחרי `61`. הם `60xx4^2+1 = 31^2`, ו-`62xx8^2+1=63^2`. כלומר, `60` ריבועים של `16` אנשים כל אחד יהיו `960` אנשים, וכאשר הרולד הצטרף אליהם הם יהיו `961` במספר, וכך יצרו ריבוע עם `31` אנשים בכל צד. באופן דומה במקרה של המספרים שנתתי עבור `62`. עכשיו, מצא את התשובה הנמוכה ביותר עבור `61`.

    מקורות:

  • הבעיה של הפסל

    פסל קדום הוזמן לספק שני פסלים, כל אחד על גבי כן מעוקב. אנו עוסקים בכנים אלה. הם היו בגדלים שונים, כפי שניתן לראות באיור, וכאשר הגיע הזמן לתשלום התגלעה מחלוקת בשאלה האם ההסכם התבסס על מדידה קווית או מעוקבת. אך ברגע שהם באו למדוד את שני הכנים, העניין הוסדר מיד, מכיוון שמספר הרגליים הקווי היה זהה בדיוק למספר הרגליים המעוקב. החידה היא למצוא את המידות לשני כנים בעלי תכונה זו, במספרים הקטנים ביותר האפשריים. אתם מבינים, אם שני הכנים, למשל, מודדים `3` רגל ו-`1` רגל בכל צד, אז המדידה הקווית תהיה `4` רגל והתכולה המעוקבת `28` רגל, שאינם זהים, כך שהמידות האלה לא יתאימו. מקורות:

  • הקמצן הספרדי

    בעיירה קטנה בקסטיליה החדשה חי פעם קמצן ידוע בשם דון מנואל רודריגז. אהבתו לכסף הושוותה רק לתשוקה עזה לבעיות אריתמטיות. חידות אלה עסקו בדרך כלל באופן כזה או אחר באוצרותיו שנצברו, והוצעו על ידו אך ורק כדי שיוכל ליהנות מלפתור אותן בעצמו. למרבה הצער, רק מעטות מהן שרדו, וכאשר טיילתי בספרד, ואספתי חומר לעבודה מוצעת על "הבצל הספרדי כגורם לשקיעה לאומית", גיליתי רק מעטות מאוד. אחת מהן עוסקת בשלוש הקופסאות המופיעות בפורטרט האותנטי המצורף. כל קופסה הכילה מספר שונה של דובלוני זהב. ההפרש בין מספר הדובלונים בקופסה העליונה למספר בקופסה האמצעית היה זהה להפרש בין המספר בקופסה האמצעית למספר בקופסה התחתונה. ואם תכולתן של שתיים כלשהן מהקופסאות היו מאוחדות, הן היו יוצרות מספר ריבועי. מהו המספר הקטן ביותר של דובלונים שיכול היה להיות באחת מהקופסאות? מקורות:

  • תשע תיבות האוצר

    החידה הבאה תמחיש את החשיבות של היכולת לקבוע את הגבולות המינימליים והמקסימליים של מספר נדרש. לעתים קרובות ניתן לעשות זאת. לדוגמה, טרם התברר בכמה דרכים שונות ניתן לבצע את מסע הפרש על לוח השחמט; אבל אנו יודעים שזה פחות ממספר הצירופים של `168` דברים שנלקחו `63` בכל פעם ויותר מ-`31,054,144`—כי האחרון הוא מספר המסלולים מסוג מסוים. או, כדי לקחת מקרה מוכר יותר, אם תשאל אדם כמה מטבעות יש לו בכיס, הוא עשוי לומר לך שאין לו מושג קלוש. אבל בחקירה נוספת תוציא ממנו הצהרה כגון: "כן, אני בטוח שיש לי יותר משלושה מטבעות, ובאותה מידה בטוח שאין כל כך הרבה כמו עשרים וחמישה." כעת, הידיעה שמספר מסוים נמצא בין `2` ל-`12` בחידה שלי תאפשר לפותר למצוא את התשובה המדויקת; ללא מידע זה יהיה מספר אינסופי של תשובות, מהן לא ניתן יהיה לבחור את הנכונה.

    זוהי חידה נוספת שהתקבלה מחברי דון מנואל רודריגז, הקמצן התמהוני של ניו קסטיליה. בערב ראש השנה האזרחית בשנת `1879` הוא הראה לי תשע תיבות אוצר, ולאחר שהודיע לי שכל תיבה הכילה מספר ריבועי של דובלונים מוזהבים, ושההפרש בין תכולת A ו-B היה זהה לזה שבין B ו-C, D ו-E, E ו-F, G ו-H, או H ו-I, הוא ביקש ממני לומר לו את מספר המטבעות בכל אחת מהקופסאות. בהתחלה חשבתי שזה בלתי אפשרי, שכן יהיה מספר אינסופי של תשובות שונות, אבל לאחר מחשבה גיליתי שזה לא המקרה. גיליתי שבעוד שכל תיבה הכילה מטבעות, התכולה של A, B, C גדלה במשקל בסדר אלפביתי; כך גם D, E, F; וכך גם G, H, I; אבל D או E לא צריכים להיות כבדים יותר מ-C, וגם G או H לא צריכים להיות כבדים יותר מ-F. כמו כן, היה ברור לחלוטין שתיבה A לא יכולה להכיל יותר מתריסר מטבעות מבחוץ; ייתכן שלא יהיה חצי מהמספר הזה, אבל הייתי בטוח שלא היו יותר משנים עשר. עם הידע הזה הצלחתי להגיע לתשובה הנכונה.

    בקיצור, עלינו לגלות תשעה מספרים ריבועיים כך ש-A, B, C; ו-D, E, F; ו-G, H, I הן שלוש קבוצות בסדרה חשבונית, כאשר ההפרש הקבוע זהה בכל קבוצה, ו-A קטן מ-`12`. כמה דובלונים היו בכל אחת מתשע התיבות?

    מקורות:

  • חמשת השודדים

    חמשת השודדים הספרדים, אלפונסו, בניטו, קרלוס, דייגו ואסטבן, ספרו את שללם לאחר פשיטה, כאשר התגלה שהם שדדו יחד בדיוק `200` דובלונים. אחד מהחבורה ציין שאם לאלפונסו יהיה פי שנים עשר, לבניטו פי שלושה, לקרלוס אותו סכום, לדייגו חצי מהסכום ולאסטבן שליש מהסכום, עדיין יהיו להם יחד בדיוק `200` דובלונים. כמה דובלונים היו לכל אחד?

    ישנן תשובות נכונות רבות באותה מידה לשאלה זו. הנה אחת מהן:

    A 6 × 12 = 72
    B 12 × 3 = 36
    C 17 × 1 = 17
    D 120 × ½ = 60
    E 45 × 1/3 = 15
      200       200

    החידה היא לגלות בדיוק כמה תשובות שונות יש, בהנחה שלכל אחד היה משהו ושאסור שיהיה כסף חלקי — רק דובלונים בכל מקרה.

    בעיה זו, שניסוחה שונה במקצת, הוצגה על ידי טרטליה (נפטר ב-`1559`), והוא החמיא לעצמו שהוא מצא פתרון אחד; אבל מתמטיקאי צרפתי ידוע (M.A. Labosne), בעבודה מהעת האחרונה, אומר שקוראיו יופתעו כאשר הוא מבטיח להם שיש `6,639` תשובות נכונות שונות לשאלה. האם זה כך? כמה תשובות יש?

    מקורות:

  • נשות ההולנדים

    אני תוהה כמה מהקוראים שלי מכירים את החידה של "נשות ההולנדים" —שבה עליכם לקבוע את שמות נשותיהם של שלושה גברים, או, ליתר דיוק, איזו אישה שייכת לכל בעל. לפני כשלושים שנה זה "עבר בין כולם," כמשהו די חדש, אך לאחרונה גיליתי זאת ב-Ladies' Diary עבור `1739-40`, כך שזה היה מוכר בבירור למין היפה לפני יותר ממאה ושבעים שנה. כמה מאמותינו, נשותינו, אחיותינו, בנותינו ודודותינו יוכלו לפתור את החידה היום? נקווה שאחוז גדול בהרבה מאשר אז.

    שלושה הולנדים, בשמות הנדריק, אלס וקורנליוס, ונשותיהם, גורטרון, קטרון ואנה, קונים חזירים. כל אחד קונה כמספר השילינגים שהוא (או היא) נותן עבור אחד. כל בעל משלם בסך הכל שלושה גינאה יותר מאשתו. הנדריק קונה עשרים ושלושה חזירים יותר מקטרון, ואלס אחד-עשר יותר מגורטרון. עכשיו, מה היה שמה של אשת כל גבר?

    מקורות:

  • למצוא את שם המשפחה של עדה

    חידה זו דומה מאוד לחידה האחרונה, והערותיי על פתרונה עשויות להיות שימושיות לקורא במקרה אחר. לאחרונה היא הוגשה לעיתון ערב בסידני העוסק ב"חידוד שכל", אך נדחתה בטענה שהיא ילדותית ושהם מפרסמים רק בעיות הניתנות לפתרון! חמש גברות, מלוות בבנותיהן, קנו בד באותה חנות. כל אחת מעשר הנשים שילמה מספר פרד'ינגים לרגל כמספר הרגליים שקנתה, וכל אם הוציאה `8`s. `5`¼d. יותר מבִתה. גברת רובינסון הוציאה `6`s. יותר מגברת אוונס, שהוציאה בערך רבע מגברת ג'ונס. גברת סמית' הוציאה הכי הרבה. גברת בראון קנתה `21` יארדים יותר מבסי—אחת הבנות. אנני קנתה `16` יארדים יותר ממרי והוציאה £`3, 0`s. `8`d. יותר מאמילי. שמה הפרטי של הבת האחרת היה עדה. עכשיו, מה היה שם המשפחה שלה? מקורות: