אלגברה, משוואות

משוואה היא טענה ששני ביטויים מתמטיים שווים. פתרון משוואה כולל מציאת ערכי המשתנים שהופכים את הטענה לאמיתית. שאלות מכסות סוגים שונים: לינאריות, ריבועיות, פולינומיאליות, רציונליות, רדיקליות ומערכות משוואות.

• שאלה

  נתון מצולע משוכלל. על כל צלע של המצולע בונים משולש שווה-צלעות מחוץ למצולע.
  כשמחברים את הקודקודים החדשים של כל המשולשים בזה אחר זה, מקבלים מצולע
  משוכלל חדש בעל אותו מספר צלעות כמו המצולע המקורי. כמה צלעות יש למצולע המקורי
  אם שטחו של המצולע החדש גדול פי שלושה משטח המצולע המקורי?
  נושאים:

  גאומטריה -> טריגונומטריה גאומטריה -> חשבון שטחים אלגברה -> משוואות גאומטריה -> גאומטריה במישור -> חשבון זוויות גאומטריה -> גאומטריה במרחב -> פאונים -> פאונים משוכללים
  מקורות:
  • מבחני בחירה ל-IMO בישראל, תשע"ב, שלב א שאלה 7

• שאלה

  מה צריך להיות הערך של k, על מנת שלגרף הפונקציה `y = x^2 + x + kx` יהיה ציר
  סימטריה?
  נושאים:

  אלגברה -> משוואות
  מקורות:
  • מבחני בחירה ל-IMO בישראל, תשע"ב, שלב א שאלה 8

• שאלה

  נתון כי `1 = 1/a -(a)/(5) +(3b)/(5a) = 1/b-b/3+(7c)/(3b) = (1)/(c) - (c)/(7) + (5a)/(7c)` מצאו את `a^2 + b^2 + c^2`.

  נושאים:

  אלגברה -> טכניקה אלגברית אלגברה -> משוואות
  מקורות:
  • מבחני בחירה ל-IMO בישראל, תשפ"ה, שלב ב שאלה 2

• תַּעֲלוּמָה בִּסְנִיף דֹּאַר

  בְּכָל תְּחוּם בַּחַיִּים אָנוּ נִתְקָלִים לִפְעָמִים בְּשְׁאֵלָה אֲקְרָאִית שֶׁמַּדְהִימָה אוֹתָנוּ לְרֶגַע. רִחַמְתִּי מְאֹד עַל גְּבֶרֶת צְעִירָה בִּסְנִיף דֹּאַר כְּשֶׁגֶּבֶר נִכְנַס וְהִנִּיחַ כֶּתֶר עַל הַדֶּלְפֵּק עִם הַבַּקָּשָׁה הַזֹּאת: "תְּנִי לִי בְּבַקָּשָׁה כַּמָּה בֻּלִּים שֶׁל שְׁנֵי פֶּנִי, פִּי שֵׁשׁ יוֹתֵר בֻּלִּים שֶׁל פֶּנִי אֶחָד, וְאֶת יֶתֶר הַכֶּסֶף תַּשְׁלִימִי בְּבֻלִּים שֶׁל שְׁנֵי פְּנִי וַחֲצִי." לְרֶגַע הִיא נִרְאֲתָה נִבְהֶלֶת, אָז מֹחָהּ הִתְפַּקֵּחַ, וּבְחִיּוּךְ הִיא מָסְרָה בֻּלִּים בְּדִיּוּק לְמִלּוּי הַהַזְמָנָה. כַּמָּה זְמַן הָיָה לוקֵחַ לְךָ לַחְשֹׁב עַל זֶה?
  נושאים:

  אריתמטיקה אלגברה -> משוואות אלגברה -> בעיות מילוליות
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 1

• בשוק בקר

  שלושה כפריים נפגשו בשוק בקר. "תראה," אמר הודג' לג'ייקס, "אתן לך שישה חזירים שלי תמורת אחד מהסוסים שלך, ואז יהיו לך כאן פי שניים בעלי חיים ממה שיש לי." "אם זו הדרך שלך לעשות עסקים," אמר דוראנט להודג', "אתן לך ארבעה עשר כבשים שלי תמורת סוס, ואז יהיו לך פי שלושה בעלי חיים ממני." "ובכן, אני אציע הצעה טובה יותר," אמר ג'ייקס לדוראנט; "אתן לך ארבע פרות תמורת סוס, ואז יהיו לך פי שישה בעלי חיים ממה שיש לי כאן."

  אין ספק שזו הייתה דרך פרימיטיבית מאוד לסחור בבעלי חיים, אבל זו חידה קטנה ומעניינת לגלות בדיוק כמה בעלי חיים ג'ייקס, הודג' ודוראנט היו צריכים לקחת לשוק הבקר.

  נושאים:

  אלגברה -> משוואות אלגברה -> בעיות מילוליות
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 3

• חידת משתה השעועית

  מספר אנשים יצאו יחד למשתה שעועית. הוזמנו ארבע קבוצות—כלומר, `25` סנדלרים, `20` חייטים, `18` כובענים ו-`12` כפפות. הם הוציאו בסך הכל £`6, 13`s. התברר שחמישה סנדלרים הוציאו כמו ארבעה חייטים; ששנים עשר חייטים הוציאו כמו תשעה כובענים; ושישה כובענים הוציאו כמו שמונה כפפות. החידה היא לגלות כמה הוציאה כל אחת מארבע הקבוצות.
  נושאים:

  אלגברה -> משוואות אלגברה -> בעיות מילוליות
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 4

• צירוף מקרים משונה

  שבעה אנשים, ששמותיהם היו אדמס, בייקר, קרטר, דובסון, אדוארדס, פרנסיס וג'אדג'ן, עסקו לאחרונה במשחק. לשם המשחק המסוים אין חשיבות. הם הסכימו שבכל פעם ששחקן ינצח במשחק, הוא יכפיל את הכסף של כל אחד מהשחקנים האחרים - כלומר, הוא היה אמור לתת לשחקנים בדיוק את אותו סכום כסף שכבר היה להם בכיסים. הם שיחקו שבעה משחקים, ולמרבה הפלא, כל אחד ניצח בתורו, בסדר שבו השמות שלהם ניתנים. אבל צירוף מקרים מוזר יותר הוא זה - כשסיימו לשחק לכל אחד משבעת האנשים היה בדיוק אותו הסכום - שני שילינג ושמונה פני - בכיסו. החידה היא לגלות כמה כסף היה לכל אחד מהאנשים לפני שהתיישב לשחק.

  נושאים:

  אלגברה -> משוואות אלגברה -> סדרות אלגברה -> בעיות מילוליות -> פתרון בעיות מילוליות "מהסוף"
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 5

• הירושה של האלמנה

  ג'נטלמן שנפטר לאחרונה הותיר סכום של £`8,000` לחלוקה בין אלמנתו, חמישה בנים וארבע בנות. הוא הורה שכל בן יקבל פי שלושה מבתו, וכל בת תקבל פי שניים מאִמָּן. מה היה חלקה של האלמנה?
  נושאים:

  אלגברה -> משוואות אלגברה -> בעיות מילוליות
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 7

• צְדָקָה לְלֹא הַפְלָיָה

  אִישׁ חֶסֶד, בְּדַרְכּוֹ הַבַּיְתָה לַיְלָה אֶחָד, נִפְנָה בְּזֶה אַחַר זֶה עַל יְדֵי שְׁלוֹשָׁה נִזְקָקִים לְסִיּוּעַ. לָאָדָם הָרִאשׁוֹן הוּא נָתַן פֶּנִי אֶחָד יוֹתֵר מֵחֲצִי הַכֶּסֶף שֶׁהָיָה לוֹ בְּכִיסוֹ; לָאָדָם הַשֵּׁנִי הוּא נָתַן שְׁנֵי פֶּנִי יוֹתֵר מֵחֲצִי הַכֶּסֶף שֶׁהָיָה לוֹ אָז בְּכִיסוֹ; וְלָאָדָם הַשְּׁלִישִׁי הוּא מָסַר שְׁלוֹשָׁה פֶּנִי יוֹתֵר מֵחֲצִי מַה שֶּׁנִּשְׁאַר לוֹ. בִּכְנִיסָתוֹ לְבֵיתוֹ הָיָה לוֹ רַק פֶּנִי אֶחָד בְּכִיסוֹ. עַכְשָׁו, הַאִם אַתֶּם יְכוֹלִים לוֹמַר בְּדִיּוּק כַּמָּה כֶּסֶף הָיָה לָאִישׁ הַזֶּה עָלָיו כְּשֶׁיָּצָא לְדַרְכּוֹ הַבַּיְתָה?
  נושאים:

  אלגברה -> משוואות אלגברה -> בעיות מילוליות -> פתרון בעיות מילוליות "מהסוף"
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 8

• קניית מתנות

  "את מי אתה חושב שפגשתי בעיר בשבוע שעבר, אח ויליאם?" אמר הדוד בנימין. "את ג'ורקינס הקמצן הזקן הזה. המשפחה שלו הסתובבה איתו וקנתה מתנות לחג המולד. הוא אמר לי, 'למה הממשלה לא יכולה לבטל את חג המולד, ולהפוך את מתן המתנות לעבירה שעונשה בחוק? יצאתי הבוקר עם סכום כסף מסוים בכיס שלי, ואני מגלה שפשוט הוצאתי חצי ממנו. למעשה, אם תאמין לי, אני לוקח הביתה בדיוק אותו מספר שילינגים שהיו לי לירות שטרלינג, וחצי ממספר הלירות שטרלינג שהיו לי שילינגים. זה מפלצתי!'" האם אתה יכול לומר בדיוק כמה כסף ג'ורקינס הוציא על המתנות האלה?
  נושאים:

  אריתמטיקה אלגברה -> משוואות אלגברה -> בעיות מילוליות
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 10