אלגברה, משוואות

משוואה היא טענה ששני ביטויים מתמטיים שווים. פתרון משוואה כולל מציאת ערכי המשתנים שהופכים את הטענה לאמיתית. שאלות מכסות סוגים שונים: לינאריות, ריבועיות, פולינומיאליות, רציונליות, רדיקליות ומערכות משוואות.

• שאלה

  נתון מספר ממשי `a` כך ש-`a+1/a` מספר שלם. הוכיחו כי גם `a^2+1/a^2` מספר שלם.

  נושאים:

  אלגברה -> טכניקה אלגברית אלגברה -> משוואות הוכחה ודוגמה

• שאלה

  פשטו את הביטוי:

  `1/(1-a)+1/(1+a)+2/(1+a^2)+4/(1+a^4)+8/(1+a^8)+16/(1+a^16)`

  נושאים:

  אלגברה -> טכניקה אלגברית -> נוסחאות כפל מקוצר אלגברה -> משוואות אלגברה -> טכניקה אלגברית -> סכומים טלסקופיים

• מכפלת ספרות

  עבור מספר טבעי `x`, נסמן ב-`P(x)` את מכפלת הספרות של `x`, ונסמן ב-`S(x)` את סכום הספרות של `x`. 

  כמה פתרונות יש למשוואה:

  `P(P(x))+P(S(x))+S(P(x))+S(S(x))=1984`

  נושאים:

  תורת המספרים אלגברה -> משוואות
  מקורות:
  • תחרות הערים, תשמ"ד, סתיו, גרסת תרגול, כיתות ט-י שאלה 4 נקודות 8

• שאלה

  בחדר נמצאים כיסאות עגולים בעלי `3` רגליים וכיסאות מרובעים בעלי `4` רגליים, סך הכל `8` כיסאות. כמה מתוכם כיסאות מרובעים, אם סך כל הרגליים שיש בחדר `27`?

  נושאים:

  אלגברה -> משוואות אלגברה -> בעיות מילוליות

• שאלה

  בתרגיל חשבון הבא ספרות שונות הוחלפו על ידי אותיות שונות, וספרות זהות – על די אותיות זהות. שחזרו את התרגיל:

  `BAOxxBAxxB=2002`

  נושאים:

  אריתמטיקה אלגברה -> משוואות אלגברה -> אי שוויונים לוגיקה -> הגיון תורת המספרים -> מספרים ראשוניים -> פרוק לגורמים ראשוניים קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים חידות ורבוסים -> שחזרו את התרגיל

• מהו הסמיילי?

  בתרגיל הבא אחת הספרות הוחלפה בסמיילי. מצאו את הספרה.

  `1☺xx6-☺=70`

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  אריתמטיקה אלגברה -> משוואות
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, שלב א, כיתות ג-ד שאלה 2

• מכפלות שטחים

  בציור מלבן ונקודה בתוכו. מעבירים דרך הנקודה שני קטעים מקבילים לצלעות המלבן שמחלקים את המלבן ל-4 מלבנים קטנים יותר.
  הוכיחו כי מכפלת השטחים המקווקוים בתוך המלבן שווה למכפלת השטחים הלבנים בתוך המלבן.

  

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור גאומטריה -> חשבון שטחים אלגברה -> משוואות
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, גמר, כיתות ג-ד שאלה 4

• כבשים וגמלים

  לשמואל יש עדר בו 9 כבשים ו-5 גמלים. הוא רוצה לחלק את העדר בין שני בניו, יוסי ודני, כך שכל אחד מהם יקבל חלק שווה ערך.
  ידוע כי 7 כבשים עולות כמו 3 גמלים. כיצד יכול שמואל לחלק את העדר בין שני בניו שווה בשווה, בלי למכור אף חיה?

  נושאים:

  אלגברה -> משוואות אלגברה -> בעיות מילוליות אריתמטיקה -> שברים
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, גמר, כיתות ג-ד שאלה 5
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, גמר, כיתות ה-ו שאלה 1

• ציוד לבית הספר

  מחק ושני עפרונות עולים יחד  19 לירות, עפרון ושתי מחברות עולים יחד 23 לירות, מחברת ושני
  מחקים עולים יחד 18 לירות. כמה עולים יחד מחק, עפרון ומחברת?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  אלגברה -> משוואות אלגברה -> בעיות מילוליות
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ט, שלב א, כיתות ג-ד שאלה 4

• שאלה

  מצאו את המספר הדו ספרתי הקטן ביותר `☺` שמקיים:

  `☺times☺ - ☺ = 600`

  נושאים:

  תורת המספרים אריתמטיקה אלגברה -> משוואות
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ט, שלב א, כיתות ה-ו שאלה 5