הוכחה ודוגמה

קטגוריה זו מדגישה את הפעילויות המתמטיות המרכזיות של בניית טיעונים קפדניים (הוכחות) לקביעת אמיתות כלליות, ושימוש במקרים ספציפיים (דוגמאות) להמחשת מושגים, בדיקת השערות או מציאת דוגמאות נגדיות. שאלות עשויות לבקש אחד מהם או את שניהם.

• ריצוף משושה

  נתונים שני סוגים של מרצפות. צורתה של כל מרצפת מהסוג הראשון היא משושה משוכלל בעל צלע באורך 1. צורתה של כל מרצפת מהסוג השני היא משושה משוכלל בעל צלע באורך 2. נתון מלאי בלתי מוגבל של מרצפות מכל אחד מהסוגים. האם ניתן לרצף את כל המישור באמצעות מרצפות אלו, תוך שימוש בכל אחד משני סוגי המרצפות?

  נושאים:

  לוגיקה -> הגיון הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה גאומטריה -> גאומטריה במישור -> חשבון זוויות
  מקורות:
  • תחרות גרוסמן, 2006 שאלה 4

• אורכי צלעות משולש

  יהי `n > 2` מספר שלם, ויהיו ` t_1,t_2,...,t_n` מספרים ממשיים חיוביים כך ש

  `(t_1+t_2+...+t_n)(1/t_1 + 1/t_2 + ... + 1/t_n) < n^2+1`

  הוכח כי לכל i,j,k כך ש- `1<=i<j<k<=n`, שלשת המספרים `t_i,t_j,t_k` הם אורכי הצלעות של משולש.

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים אלגברה -> אי שוויונים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה גאומטריה -> גאומטריה במישור -> אי שוויון המשולש
  מקורות:
  • תחרות גרוסמן, 2006 שאלה 5