הוכחה ודוגמה

קטגוריה זו מדגישה את הפעילויות המתמטיות המרכזיות של בניית טיעונים קפדניים (הוכחות) לקביעת אמיתות כלליות, ושימוש במקרים ספציפיים (דוגמאות) להמחשת מושגים, בדיקת השערות או מציאת דוגמאות נגדיות. שאלות עשויות לבקש אחד מהם או את שניהם.

• שאלה

  בארץ מסוימת יש יותר מ-101 ערים. הבירה מקושרת בקווי טיסה עם 100 ערים וכל עיר פרט מהבירה מקושר בקווי טיסה בדיוק עם 10 ערים. נתון שמכל עיר ניתן להגיע לכל עיר אחרת (אולי לא בקו ישיר). הוכח כי ניתן לסגור חצי קווי טיסה שמובילים לבירה כך שהאפשרות להגיע מכל עיר לכל עיר תשמר.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  קומבינטוריקה -> תורת הגרפים לוגיקה -> הגיון הוכחה ודוגמה
  מקורות:
  • תחרות הערים, תשמ"ב, אביב

• שאלה

  .המישור חולק על ידי n ישרים ומעגלים,

  הוכיחו כי את המפה שהתקבלה ניתן לצבוע בשני צבעים כך ששני חלקים שכנים (נפרדים על ידי קטע או קשת) נצבעים בצבעים שונים.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית קומבינטוריקה -> אינדוקציה גאומטריה -> גאומטריה במישור הוכחה ודוגמה קומבינטוריקה -> צביעות
  מקורות:
  • תרגילי מינק וחומרים נוספים מאתר תחרות, תשע"ט, תרגיל 4

• כרטיסים עם ספרות

  לרחל יש שלושה כרטיסים עם ספרות שונות, שכולן גדולות מ-0. רחל הרכיבה מהכרטיסים האלה את כל המספרים התלת ספרתיים האפשריים וחישבה את סכומם.
  הוכיחו כי הסכום מתחלק ב-3

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה -> סימני חלוקה ב-3 וב-9 לוגיקה -> הגיון הוכחה ודוגמה
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, גמר, כיתות ג-ד שאלה 6
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, גמר, כיתות ה-ו שאלה 5

• חילוק סופי

  מצאו את כל ה x,y,z,w השלמים שמקיימים `x^2+y^2=3z^2+3w^2 `.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות הוכחה ודוגמה אלגברה -> משוואות -> משוואות דיופנטיות

• שאלה

  מהו המספר השש-ספרתי הקטן ביותר שכל ספרותיו שונות?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  אריתמטיקה הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• שאלה

  לשלושה קיפודים יש שלוש חתיכות גבינה של `5`, `8` ו-`11` גרם. שועל מציע לקיפודים לעזור להם לחלק את הגבינה שווה בשווה. הפעולה שהשועל יכול לעשות זה לנגוס גרם אחד מכל אחת משתי חתיכות גבינה לבחירתו. האם השועל יוכל להגיע בעזרת פעולות אלו למצב בו הוא ישאיר לשלושה הקיפודים חתיכות שוות של גבינה?

  נושאים:

  אריתמטיקה אלגברה -> בעיות מילוליות הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים תורת המספרים -> חלוקה
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• שאלה

  האם תוכלו לחלק `24` קילו של מסמרים לשני חלקים של `15` ו-`9` קילו בעזרת מאזני כף ללא משקולות?

  נושאים:

  אריתמטיקה הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה תורת האלגוריתמים -> שקילות

• השרשרת הקרועה

  יש חמישה קטעים של שרשרת שנקרעה, שלוש חוליות בכל קטע. משה רוצה לתקן את השרשרת. מהו המספרי המינימלי של חוליות שהוא צריך לפתוח ולסגור בחזרה כדי לאחד את כל הקטעים האלה ביחד?

  הערה: השרשרת אינה מעגלית!

  נושאים:

  אלגברה -> בעיות מילוליות לוגיקה -> הגיון הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה בעיות מינימום ומקסימום

• שאלה

  האם ניתן לסדר את כל המספרים מ-`1` עד `100` בשורה כך שהפרש בין כל שני מספרים סמוכים יהיה לפחות `50`? אם כן – הביאו דוגמה, אם לא – הוכיחו למה.

  נושאים:

  תורת המספרים לוגיקה -> הגיון הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• שאלה

  תהי M קבוצה של נקודות במישור. O נקרא מרכז סימטרייה חלקי אם אפשר לזרוק מ-M נקודה כך ש-O יהיה מרכז סימטרייה רגיל של מה שנותר. כמה מרכזי סימטרייה חלקיים יכולים להיות לקבוצת נקודות סופית במישור? 
  ו. פראסולוב 

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה גאומטריה -> גאומטריה במישור -> סימטריה
  מקורות:
  • תחרות הערים, תשמ"א, אביב, גרסה עיקרית, כיתות ט-י שאלה 2 נקודות 7