הוכחה ודוגמה

קטגוריה זו מדגישה את הפעילויות המתמטיות המרכזיות של בניית טיעונים קפדניים (הוכחות) לקביעת אמיתות כלליות, ושימוש במקרים ספציפיים (דוגמאות) להמחשת מושגים, בדיקת השערות או מציאת דוגמאות נגדיות. שאלות עשויות לבקש אחד מהם או את שניהם.

• שאלה

  בארץ הקסומה יש `2017` ערים, וכל עיר מחוברת על ידי כבישים ישירים לפחות עם `1008` ערים אחרות. הוכיחו כי מכל עיר של הארץ הקסומה ניתן להגיע לכל עיר אחרת (לא בהכרח בדרך הישירה).

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> תורת הגרפים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• שאלה

  על הלוח כתובים המספרים: `1, 2, 3, …, 2016, 2017`. תוך מהלך אחד מותר לבחור זוג מספרים שכתובים על הלוח, למחוק אותם ולרשום במקומם את ההפרש שלהם (החיובי). אחרי מספר פעולות כאלו נשאר על הלוח מספר בודד. האם יתכן שזה אפס?

  נושאים:

  אריתמטיקה קומבינטוריקה -> אינווריאנטים קומבינטוריקה -> אינדוקציה תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות אלגברה -> סדרות -> סדרה חשבונית קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• שאלה

  האם קיימת סדרה חשבונית אינסופית שמורכבת ממספרים ראשוניים בלבד?

  הערה: לא נתיחס לסדרות חשבוניות "טריוויאליות", שהן קבועות.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים -> מספרים ראשוניים אלגברה -> סדרות -> סדרה חשבונית הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• שאלה

  הוכיחו כי סכום ספרות של ריבוע שלם לא יכול להיות שווה `2019 `.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה -> סימני חלוקה ב-3 וב-9 הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• שאלה

  הוכיחו כי לא ניתן לחתוך את הצורה הנתונה לאבני דומינו:

  

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> אינווריאנטים קומבינטוריקה -> התאמות תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה קומבינטוריקה -> צביעות -> צביעת שחמט קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> חתכו צורה

• שאלה

  האם קיים ריבוע שלם שמסתיים בספרות `...2017`?

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• שאלה

  `19` עצי תפוחים ממוקמים במעגל. הוכיחו כי קיים זוג עצים סמוכים, שמספר התפוחים הכולל שיש עליהם הינו זוגי.

  נושאים:

  לוגיקה -> הגיון תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• שאלה

  האם תוכלו למצוא שני מספרים, שגם סכום, גם מכפלה שלהם אי זוגיים? נמקו או הביאו דוגמה!

  נושאים:

  תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• שאלה

  האם תוכלו לחלק `44` כדורים ל-`9` ערימות אם כמות שונה של כדורים?

  נושאים:

  אריתמטיקה קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• שאלה

  כל אחד משבעה ילדים מחזיק ביד בלון בצבע אדום, ירוק או כחול. הוכיחו כי יש שלושה ילדים עם בלונים באותו צבע.

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה