הוכחה ודוגמה

קטגוריה זו מדגישה את הפעילויות המתמטיות המרכזיות של בניית טיעונים קפדניים (הוכחות) לקביעת אמיתות כלליות, ושימוש במקרים ספציפיים (דוגמאות) להמחשת מושגים, בדיקת השערות או מציאת דוגמאות נגדיות. שאלות עשויות לבקש אחד מהם או את שניהם.

• שאלה

  המספרים `1`, `2`, `3`, ..., `9` מחלוקים ל-`3` קבוצות. הוכיחו כי ישנה קבוצה בה מכפלת המספרים גדולה או שווה ל-`72`.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים אלגברה -> אי שוויונים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• שאלה

  ברשותו של שלומי לוח שחמט וקובייה שגודל הפאה שלה הוא כמו גודל של משבצת הלוח. שלומי רוצה לצבוע את פאות הקובייה בשחור ולבן, ואז לגלגל את הקובייה על פני הלוח כך שכל פעם הפאה שנוגעת בלוח תהיה באותו הצבע כמו המשבצת בה היא נוגעת. הקובייה אמורה לעבור בכל משבצת בלוח בדיוק פעם אחת. האם שלומי יוכל לעשות זאת? נמקו או הביאו דוגמה.

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית קומבינטוריקה -> תורת הגרפים לוגיקה -> הגיון הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה קומבינטוריקה -> צביעות -> צביעת שחמט

• שאלה

  נתונים מספרים טבעיים m,n כך ש`m/n <= sqrt 23` הוכיחו כי `m/n+3/{mn} <= sqrt 23`

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות אלגברה -> אי שוויונים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה אלגברה -> טכניקה אלגברית -> שורשים
  מקורות:
  • תרגילי מינק וחומרים נוספים מאתר תחרות, תשע"ט, תרגיל 3 שאלה 4

• שאלה

  האם יש פתרון בטבעיים למשוואה `x^2 + 12 = y^3` כך ש

  א. x זוגי (קל יותר)

  ב. x אי זוגי

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים -> מספרים ראשוניים תורת המספרים -> חשבון השאריות תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה אריתמטיקה -> חילוק עם שארית אלגברה -> משוואות -> משוואות דיופנטיות
  מקורות:
  • תרגילי מינק וחומרים נוספים מאתר תחרות, תשע"ט, תרגיל 3 שאלה 6

• צעצועים

  ליונתן יש אוסף של צעצועי עץ. חלקם קוביות וחלקם כדורים, חלקם אדומים וחלקם כחולים.

  ידוע שיש יותר כדורים מאשר קוביות, וידוע שיש יותר צעצועים כחולים מאשר צעצועים אדומים.

  הוכיחו כי יש ליונתן כדור כחול.

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים לוגיקה -> הגיון הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, גמר, כיתות ג-ד שאלה 1

• בוחן

  בכיתה של 25 תלמידים התקיים בוחן המורכב מ-7 שאלות. הוכיחו כי לפחות אחד משני המשפטים הבאים נכון:

  1. יש ילד שפתר מספר אי זוגי של שאלות
  2. יש שאלה שפתרו אותה מספר זוגי של ילדים
  נושאים:

  קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים לוגיקה -> הגיון תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, גמר, כיתות ה-ו שאלה 5

• מעגל שקרנים - טענת האמת

  במעגל יושבים n אנשים, כל אחד מהם הוא שקרן או דובר אמת.

  האנשים מסתכלים למרכז המעגל. שקרן תמיד משקר, ודובר אמת תמיד אומר אמת.

  כל אחד מהאנשים יודע בדיוק מי דובר שקר ומי דובר אמת.

  כל אחד מהאנשים אומר שהאיש שיושב שני מקומות לשמאלו (זאת אומרת ליד האיש שיושב לידו), הוא דובר אמת.

  ידוע שבמעגל יש לפחות שקרן אחד, ולפחות דובר אמת אחד.

  א. האם ייתכן ש-2017 = n?

  ב. האם ייתכן ש-5778 = n?

  (פורמט פתרון: "מילה, מילה" למשל "חתול, כלבלב")

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  לוגיקה -> הגיון תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה לוגיקה -> דוברי אמת ושקרנים
  מקורות:
  • אולימפיאדת גיליס, תשע"ח שאלה 1

• מקיפים בעיגולים

  נתונים שני משולשים ACE, BDF
  שנחתכים ב-6 נקודות: G,H,I,J,K,L
  כמתואר בציור. נתון כי בכל אחד מהמרובעים
  EFGI ,DELH ,CDKG ,BCJL ,ABIK ניתן לחסום מעגל.
  האם ייתכן שגם במרובע FAHJ ניתן לחסום מעגל?
  

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במרחב גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים אלגברה -> משוואות אלגברה -> אי שוויונים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה גאומטריה -> גאומטריה במישור -> חשבון זוויות
  מקורות:
  • אולימפיאדת גיליס, תש"פ שאלה 5

• פירוק ושימוש בנוסחה

  נוסחה מענינת היא `x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1)`.

  א: היעזרו בה ופרקו לגורמים את הביטוי `a^n-b^n`.

  ב: פרקו לגורמים את הביטוי `a^n+b^n` ל n אי זוגי כלשהו.

  ג: הוכיחו שאם `2^n-1` ראשוני אז גם n ראשוני.

  ד: הוכיחו שאם `2^n+1` ראשוני אז n בהכרח חזקה של 2 שזה שקול ל `n=2^m`

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  אלגברה -> טכניקה אלגברית תורת המספרים -> מספרים ראשוניים -> פרוק לגורמים ראשוניים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה
  מקורות:
  • תרגילי הנבחרת הצעירה למדעים, 2024-2025, מטלה 1 שאלה 4

• חילוק סופי

  מצאו את כל ה x,y,z,w השלמים שמקיימים `x^2+y^2=3z^2+3w^2 `.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה אלגברה -> משוואות -> משוואות דיופנטיות
  מקורות:
  • תרגילי הנבחרת הצעירה למדעים, 2024-2025, מטלה 1 שאלה 5