הוכחה ודוגמה

קטגוריה זו מדגישה את הפעילויות המתמטיות המרכזיות של בניית טיעונים קפדניים (הוכחות) לקביעת אמיתות כלליות, ושימוש במקרים ספציפיים (דוגמאות) להמחשת מושגים, בדיקת השערות או מציאת דוגמאות נגדיות. שאלות עשויות לבקש אחד מהם או את שניהם.

• שאלה

  בקודקודיו של מחומש משוכלל כתובים המספרים `1,2,3,4,5`, כל מספר בקודקוד אחד בדיוק. שלשה של קודקודים נקראת מוצלחת אם היא יוצרת משולש שווה שוקיים, שבקודקוד הראש שלו יש מספר גדול יותר מבשני הקודקודים האחרים או שבקודקוד הראש שלו יש מספר קטן יותר מבשני הקודקודים האחרים.

  מצאו את המספר המרבי של שלשות מוצלחות שיכולות להיות.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> סימטריה בעיות מינימום ומקסימום

• מספר עשר ספרתי

  יעל כותבת מספרים עשר ספרתיים,שברישום העשרוני שלהם כל אחת מבין הספרות `0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9` מופיעה פעם אחת בדיוק.
  במספרים שיעל כותבת,ההפרש בין כל שתי ספרות סמוכות הוא לפחות 2. מהו המספר הקטן ביותר שיעל יכולה לכתוב?
   

  נושאים:

  תורת המספרים הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, שלב א, כיתות ג-ד שאלה 3
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, שלב א, כיתות ה-ו שאלה 1

• השולחן העגול

  סביב שולחן עגול 12 כיסאות, על חלק מהכיסאות יושבים אבירים. ארתור רוצה להצטרף לישיבה,
  ומסתבר שלא משנה איפה הוא ישב, בוודאות מישהו יושב לידו.
  מהו המספר הקטן ביותר של אבירים שיכולים להיות סביב השולחן כדי שזה בוודאות יתקיים? (לא כולל ארתור)

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים לוגיקה -> הגיון הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, שלב ב, כיתות ג-ד שאלה 1

• רחוב צבעוני 2

  לאורך הרחוב ממוקמים 15 בתים, בצבע אדום, כחול וירוק. יש לפחות בית אחד מכל צבע.
  בין כל שני בתים כחולים יש בית אדום. בין כל שני בתים ירוקים יש בית כחול.
  מהו המספר הגדול ביותר של בתים ירוקים שיכול להיות?
  הערה: הרחוב ישר, כל הבתים ממוקמים בצד אחד של הרחוב.

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשפ"א, שלב א, כיתות ה-ו שאלה 5
  • האולימפיאדה לצעירים, תשפ"א, שלב א, כיתות ז-ח שאלה 6

• מקדמים שלמים?

  נתונים מספרים ממשיים a,b,c כך שעבור כל מספר שלם x המספר `ax^2+bx+c` שלם. האם זה בהכרח אומר ש a,b,c כולם שלמים? הוכיחו שכן או הביאו דוגמא נגדית.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  אלגברה תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה
  מקורות:
  • תחרות גרוסמן, 2017, צעירים שאלה 2

• קבוצות במישור

  א. האם קיימת במישור קבוצה A שחיתוכה עם כל מעגל מכיל שתי נקודות בדיוק?

  ב. האם קיימת במישור קבוצה B שחיתוכה עם כל מעגל ברדיוס 1 מכיל שתי נקודות בדיוק?

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה תורת הקבוצות הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה בעיות מינימום ומקסימום
  מקורות:
  • תחרות גרוסמן, 2006 שאלה 3

• הספְרָה ה-1224

  כותבים את המספרים הטבעיים על פי סדר, זה אחר זה משמאל לימין:

  1234567891011...

  נשים לב למשל, שהספרה במקום ה-10 היא 1 ושהספרה במקום ה-11 היא 0.

  ממשיכים עם הכתיבה הזו, כמה שצריך...

  איזו ספרה תהיה במקום ה-1224 ברצף?

  נושאים:

  תורת המספרים אריתמטיקה הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה אלגברה -> סדרות
  מקורות:
  • תחרות החידמטיקה השבועית של בר אילן, 2024 שאלה 1

• צפוף פה!

  על לוח המשחק ממוקמים 55 גלגלי שיניים בצורת 'פירמידה':

  10 גלגלים בשורה התחתונה, 9 גלגלים בזו שמעליה, וכן הלאה.

  במצב זה, הגלגלים לא יכולים להסתובב בחופשיות (שכנעו את עצמכם מדוע!)

  מסירים גלגלי שיניים כדי לאפשר תנועה חופשית.

  כמה גלגלים לכל היותר יישארו על הלוח כך שכולם יוכלו להסתובב?

  

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> גאומטריה על נייר משבצות
  מקורות:
  • תחרות החידמטיקה השבועית של בר אילן, 2024 שאלה 10

• שבילים בפארק משולש

  בפארק יש 3 שבילים ישרים שיוצרים משולש (אין שבילים נוספים). הכניסות לפארק הן באמצעי השבילים, ובכל קודקוד של המשולש תלוי פנס. מכל כניסה מדדו את מרחק ההליכה הקצר ביותר, לאורך שבילי הפארק, עד הפנס בפינה הנגדית. התברר כי 2 מבין 3 המרחקים שווים זה לזה. האם המשולש בהכרח שווה-שוקיים?

  

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה גאומטריה -> גאומטריה במישור -> אי שוויון המשולש
  מקורות:
  • אולימפיאדת בנו ארבל, 2017, כיתה ח שאלה 3

• שאלה

  טבלה `N×N` ממולאת במספרים כך שכל השורות נבדלות (לפחות במקום אחד). הוכח/י כי אפשר למחוק עמודה כלשהי כך שבטבלה שתישאר גם כל השורות יהיו שונות.
  א. אנג'אנס

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים קומבינטוריקה -> תורת הגרפים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה
  מקורות:
  • תחרות הערים, תש"מ, עיקרית, אביב שאלה 2