הוכחה ודוגמה

קטגוריה זו מדגישה את הפעילויות המתמטיות המרכזיות של בניית טיעונים קפדניים (הוכחות) לקביעת אמיתות כלליות, ושימוש במקרים ספציפיים (דוגמאות) להמחשת מושגים, בדיקת השערות או מציאת דוגמאות נגדיות. שאלות עשויות לבקש אחד מהם או את שניהם.

• שאלה

  מהו המספר המקסימלי של מלכי שח שניתן להציב על לוח `8xx8`, כך שהם לא יאיימו אחד על שני?

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים בעיות מינימום ומקסימום קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> גאומטריה על נייר משבצות

• שאלה

  מהו המספר המקסימלי של צריחי שח שניתן להציב על לוח `8xx8`, כך שהם לא יאיימו אחד על שני?

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים לוגיקה -> הגיון הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה בעיות מינימום ומקסימום

• שאלה

  לשלומי יש קופסה שטוחה בגודל `5xx5` סנטימטרים. שלומי טוען, שכל מלבן שאפשר לאחסן בקופסה הזאת, כל צלעותיו צריכות להיות קטנות מ-5 סנטימטרים. האם הוא צודק?

  נושאים:

  הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משפט פיתגורס

• שאלה

  בארץ הקסומה יש רק שני סוגים של מטבעות: `16` ל"ק (לירות קסומות) ו-`27` ל"ק. האם ניתן לקנות מחברת שעולה לירה קסומה אחת ולקבל עודף מדויק?

  נושאים:

  הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה תורת המספרים -> המחלק המשותף המקסימלי והכפולה המשותפת המינימלית -> אלגוריתם אוקלידס תורת המספרים -> חלוקה אלגברה -> משוואות -> משוואות דיופנטיות

• שאלה

  נתונים `50` מספרים טבעיים שונים בין `1` ל-`100`. ידוע כי אין בינם שני מספרים שסכומם שווה ל-`100`. האם נכון שאחד מהמספרים האלה חייב להיות ריבוע שלם?

  נושאים:

  תורת המספרים -> מספרים ראשוניים אריתמטיקה קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים קומבינטוריקה -> התאמות לוגיקה -> הגיון הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה תורת הקבוצות קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• שאלה

  מידי ערב יובל מסיים עבודה בזמן אקראי ומגיע לתחנת אוטובוס. בתחנה הזאת עוצרים שני אוטובוסים: מספר `7`, שנוסע לבית של יובל, ומספר `13`, שנוסע לבית של ידידו שלומי. יובל עולה על האוטובוס הראשון שמגיע וכתלות בכך נוסע לשלומי או הביתה.

  כעבור זמן מה יובל שם לב כי אחרי עבודה הוא נוסע לשלומי בערך פי שניים יותר מאשר הוא נוסע הביתה. הוא הסיק מזה שהאוטובוס מספר `13` מגיע בתדירות פי שניים גבוהה יותר מאוטובוס מספר `7`.

  האם יובל בהכרח צודק?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים תורת ההסתברות לוגיקה -> הגיון -> פרדוקסים

• שלושה אצנים

  שלושה אצנים, א', ב' ו-ג', בצעו ריצת מאה מטר יחד מספר פעמים. השופט טוען כי א' הגיע לסוף המרוץ לפני ב' ביותר ממחצית הריצות, ב' הגיע לפני ג' ביותר ממחצית הריצות, ו-ג' הגיע לפני א' ביותר ממחצית הריצות.

  האם זה יתכן?

  נושאים:

  הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה לוגיקה -> הגיון -> פרדוקסים

• האם לכל הסוסים יש אותו צבע?

  שלומי טוען כי הוא הוכיח באמצעות אינדוקציה שבכל עדר כל הסוסים באותו צבע:

  אם יש סוס אחד, אז הוא בצבע של עצמו - כך הראנו כי בסיס אינדוקציה מתקיים.

  בשביל מעבר אינדוקציה, נמספר את הסוסים מ-`1` עד `n`. לפי הנחת אינדוקציה, הסוסים שמספרם מ-`1` עד `n-1`, כולם באותו צבע. באופן דומה, הסוסים שמספרם מ-`2` עד `n`, גם הם כולם באותו צבע. ובגלל שהצבעים של הסוסים מ-`2` עד `n-1`  הינם קבועים ולא יכולים להשתנות בהתאם לאיך ששייכנו אותם לקבוצה זו או אחרת, אז גם הסוסים ה-`1`  וה-`n` חייבים להיות באותו הצבע.

  האם שלומי ביצע טעות במהלך ההוכחה שלו? אם כן, מצאו את הטעות.

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> אינדוקציה הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה לוגיקה -> הגיון -> פרדוקסים

• שאלה

  נתונה הסדרה `1 , 1/2 ,1/3 ,1/4 ,1/5,...`, האם קיימת סדרה חשבונית שמורכבת מאיברי הסדרה הנ"ל

  1. באורך 5

  2. בכל אורך

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה אלגברה -> סדרות -> סדרה חשבונית אריתמטיקה -> שברים תורת המספרים -> המחלק המשותף המקסימלי והכפולה המשותפת המינימלית
  מקורות:
  • תחרות הערים, תשמ"ב, אביב

• גזירה

  מה הוא המספר הגדול ביותר של מלבנים בגודל `2 times 5`  שאפשר לגזור מתוך ריבוע `9 times 9`?

  נושאים:

  גאומטריה -> חשבון שטחים הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> חתכו צורה קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> גאומטריה על נייר משבצות
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ט, שלב א, כיתות ג-ד שאלה 1
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ט, שלב א, כיתות ה-ו שאלה 1