הוכחה ודוגמה

קטגוריה זו מדגישה את הפעילויות המתמטיות המרכזיות של בניית טיעונים קפדניים (הוכחות) לקביעת אמיתות כלליות, ושימוש במקרים ספציפיים (דוגמאות) להמחשת מושגים, בדיקת השערות או מציאת דוגמאות נגדיות. שאלות עשויות לבקש אחד מהם או את שניהם.

• שאלה

  נתונים שלושה מספרים ממשיים `a`, `b` ו-`c`. ידוע כי `a+b+c>0`, `ab+bc+ca>0` ו-`abc>0`. הוכיחו כי `a>0`, `b>0` ו-`c>0`.

  נושאים:

  אלגברה -> אי שוויונים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• שאלה

  הארץ הקסומה מורכבת מ-`25` מחוזות. האם יתכן שכל מחוז גובל במספר אי זוגי של מחוזות אחרים?

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> ספירה כפולה קומבינטוריקה -> תורת הגרפים תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה קומבינטוריקה -> צביעות

• שאלה

  הוכיחו כי לא קיים פאון בעל `7` מקצועות.

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> תורת הגרפים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה גאומטריה -> גאומטריה במרחב -> פאונים

• שאלה

  נתונים שבעה מספרים שלמים `a_1,a_2,a_3,...,a_7`, ויהיו `b_1,b_2,b_3,...,b_7` אותם המספרים שרשומים בסדר אחר. הוכיחו כי המספר `(a_1-b_1)(a_2-b_2)*...*(a_7-b_7)` בהכרח זוגי.

  נושאים:

  תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• שאלה

  מלוח שחמט גוזרים שתי פינות מנוגדות (השדות `a1` ו-`h8`, למשל). האם תוכלו לרצף את הלוח שנשאר על ידי אבני דומינו?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  קומבינטוריקה -> אינווריאנטים קומבינטוריקה -> התאמות לוגיקה -> הגיון תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה קומבינטוריקה -> צביעות -> צביעת שחמט חידות ורבוסים

• אבירי השולחן העגול

  סביב שולחן עגול יושבים 12 אבירים, שכל אחד מהם או אֶלְף או גמד. ידוע כי מספר האֶלפים גדול יותר ממספר הגמדים.  הוכיחו כי ישנם שני אֶלפים שיושבים אחד מול השני.

  האם זה ימשיך להיות נכון אם המספר הכולל של האבירים יהיה 120?

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים לוגיקה -> הגיון הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• שאלה

  ל-`21` ילדים יש סך הכל `200` אגוזים. הוכיחו כי קיימים שני ילדים שיש להם אותה כמות של אגוזים.

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה בעיות מינימום ומקסימום

• שאלה

  בכיתה לומדים `30` תלמידים. במהלך מבחן פנחס עשה `13` טעויות, והשאר עשו פחות טעויות. הוכיחו שיש שלושה תלמידים שעשו כמויות זהות של טעויות.

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים לוגיקה -> הגיון הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה בעיות מינימום ומקסימום

• שאלה

  המספרים מ-`1` עד `2n` רשומים בשורה בסדר כלשהו. מוסיפים לכל מספר את אינדקס המקום עליו הוא עומד. הוכיחו כי בין `2n` הסכומים שקיבלנו יש שניים שהפרש שלהם מתחלק ב-`2n`.

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• שאלה

  ריבוע מחולק לכמה מצולעים קמורים (יותר מ-`1`), שלכל אחד מהם יש מספר שונה של צלעות. הוכיחו כי בין המצולעים האלה יש משולש.

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית קומבינטוריקה -> תורת הגרפים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה גאומטריה -> גאומטריה במרחב -> פאונים בעיות מינימום ומקסימום